Versi aslinya dari cerita ini muncul di Berapa banyak majalah.
Pada tahun 1994, gempa bumi dari bukti mengguncang dunia matematika. Matematikawan Andrew Wiles akhirnya menetap Teorema terakhir Fermatmasalah utama dalam teori angka yang tetap terbuka selama lebih dari tiga abad. Buktinya tidak hanya memikat ahli matematika – itu dibuat Halaman depan The New York Times.
Tetapi untuk mencapainya, Wiles (dengan bantuan dari ahli matematika Richard Taylor) pertama -tama harus membuktikan pernyataan perantara yang lebih halus – satu dengan implikasi yang meluas di luar teka -teki Fermat.
Bukti menengah yang terlibat ini menunjukkan bahwa jenis persamaan penting yang disebut kurva elips selalu dapat diikat dengan objek matematika yang sama sekali berbeda yang disebut bentuk modular. Wiles dan Taylor pada dasarnya membuka kunci portal antara alam matematika yang berbeda, mengungkapkan bahwa masing -masing terlihat seperti gambar cermin yang terdistorsi dari yang lain. Jika ahli matematika ingin memahami sesuatu tentang kurva elips, Wiles dan Taylor menunjukkan, mereka dapat pindah ke dunia bentuk modular, menemukan dan mempelajari citra cermin objek mereka, kemudian membawa kesimpulan mereka kembali bersama mereka.
Hubungan antara dunia ini, yang disebut “modularitas,” tidak hanya memungkinkan Wiles untuk membuktikan teorema terakhir Fermat. Matematikawan segera menggunakannya untuk membuat kemajuan pada semua jenis masalah yang sebelumnya tidak dapat diselesaikan.
Modularitas juga membentuk fondasi Program Langlandsserangkaian dugaan yang bertujuan mengembangkan “teori grand unified” matematika. Jika dugaan itu benar, maka segala macam persamaan di luar kurva elips akan ditambatkan sama ke objek di ranah cermin mereka. Matematikawan akan dapat melompat di antara dunia karena mereka mohon menjawab lebih banyak pertanyaan.
Tetapi membuktikan korespondensi antara kurva elips dan bentuk modular sangat sulit. Banyak peneliti berpikir bahwa membangun beberapa korespondensi yang lebih rumit ini tidak mungkin.
Sekarang, tim yang terdiri dari empat ahli matematika telah membuktikan bahwa mereka salah. Pada bulan Februari, kuartet akhirnya berhasil Memperluas Koneksi Modularitas Dari kurva elips ke persamaan yang lebih rumit yang disebut permukaan Abelian. Tim—Frank Calegari dari University of Chicago, George Boxer Dan Toby Gee Imperial College London, dan Vincent Pilloni Pusat Penelitian Ilmiah Nasional Prancis – membuktikan bahwa setiap permukaan Abelian milik kelas utama tertentu selalu dapat dikaitkan dengan bentuk modular.
Toby Gee, Frank Calegari, dan Vincent Pilloni, bersama dengan George Boxer (tidak digambarkan), menghabiskan hampir satu dekade untuk bukti.
“Kami kebanyakan percaya bahwa semua dugaan itu benar, tetapi sangat menyenangkan melihatnya benar -benar disadari,” kata Karabianseorang ahli matematika di Imperial College London. “Dan dalam kasus yang menurut Anda benar -benar akan di luar jangkauan.”
Ini hanya awal dari perburuan yang akan memakan waktu bertahun -tahun – ahli warga negara pada akhirnya ingin menunjukkan modularitas untuk setiap permukaan Abelian. Tetapi hasilnya sudah dapat membantu menjawab banyak pertanyaan terbuka, sama seperti membuktikan modularitas untuk kurva elips membuka segala macam arah penelitian baru.
Melalui kaca yang terlihat
Kurva elips adalah jenis persamaan yang sangat mendasar yang hanya menggunakan dua variabel—X Dan y. Jika Anda membuat grafik solusinya, Anda akan melihat apa yang tampak sebagai kurva sederhana. Tetapi solusi -solusi ini saling terkait dengan cara yang kaya dan rumit, dan mereka muncul dalam banyak pertanyaan paling penting Teori Number. Dugaan Birch dan Swinnerton-Dyer, misalnya-salah satu masalah terbuka terberat dalam matematika, dengan hadiah $ 1 juta untuk siapa pun yang membuktikannya terlebih dahulu-adalah tentang sifat solusi untuk kurva elips.
Kurva elips bisa sulit dipelajari secara langsung. Jadi terkadang matematikawan lebih suka mendekati mereka dari sudut yang berbeda.
Di situlah bentuk modular masuk. Bentuk modular adalah fungsi yang sangat simetris yang muncul di bidang studi matematika yang seolah -olah terpisah yang disebut analisis. Karena mereka menunjukkan begitu banyak simetri yang bagus, bentuk modular dapat lebih mudah dikerjakan.
Pada awalnya, benda -benda ini seolah -olah mereka seharusnya tidak terkait. Tetapi bukti Taylor dan Wiles mengungkapkan bahwa setiap kurva elips sesuai dengan bentuk modular tertentu. Mereka memiliki sifat -sifat tertentu yang sama – misalnya, satu set angka yang menggambarkan solusi untuk kurva elips juga akan muncul dalam bentuk modular yang terkait. Oleh karena itu, matematikawan dapat menggunakan bentuk modular untuk mendapatkan wawasan baru tentang kurva elips.
Tetapi ahli matematika berpikir teorema modularitas Taylor dan Wiles hanyalah satu contoh dari fakta universal. Ada kelas objek yang jauh lebih umum di luar kurva elips. Dan semua objek ini juga harus memiliki mitra di dunia yang lebih luas dari fungsi simetris seperti bentuk modular. Intinya, inilah tentang program Langlands.
Kurva elips hanya memiliki dua variabel—X Dan y—Jadi dapat digambarkan pada selembar kertas datar. Tetapi jika Anda menambahkan variabel lain, zAnda mendapatkan permukaan melengkung yang hidup dalam ruang tiga dimensi. Objek yang lebih rumit ini disebut permukaan Abelian, dan seperti halnya kurva elips, solusinya memiliki struktur hiasan yang ingin dipahami oleh matematikawan.
Tampak wajar bahwa permukaan Abelian harus sesuai dengan jenis bentuk modular yang lebih rumit. Tetapi variabel ekstra membuat mereka jauh lebih sulit untuk dibangun dan solusi mereka jauh lebih sulit ditemukan. Membuktikan bahwa mereka juga memuaskan teorema modularitas tampaknya benar -benar di luar jangkauan. “Itu adalah masalah yang diketahui untuk tidak dipikirkan, karena orang -orang telah memikirkannya dan macet,” kata Gee.
Tapi Boxer, Calegari, Gee, dan Pilloni ingin mencoba.
Menemukan jembatan
Keempat ahli matematika terlibat dalam penelitian tentang program Langlands, dan mereka ingin membuktikan salah satu dugaan ini untuk “sebuah objek yang benar -benar muncul dalam kehidupan nyata, daripada beberapa hal yang aneh,” kata Calegari.
Permukaan Abelian tidak hanya muncul dalam kehidupan nyata – kehidupan nyata seorang ahli matematika, yaitu – tetapi membuktikan teorema modularitas tentang mereka akan membuka pintu matematika baru. “Ada banyak hal yang dapat Anda lakukan jika Anda memiliki pernyataan yang tidak memiliki kesempatan untuk melakukan sebaliknya,” kata Calegari.
Para matematikawan mulai bekerja bersama pada tahun 2016, berharap untuk mengikuti langkah -langkah yang sama seperti yang dimiliki Taylor dan Wiles atas bukti mereka tentang kurva elips. Tetapi setiap langkah itu jauh lebih rumit untuk permukaan Abelian.
Jadi mereka fokus pada jenis permukaan Abelian tertentu, yang disebut permukaan Abelian biasa, yang lebih mudah dikerjakan. Untuk permukaan seperti itu, ada satu set angka yang menggambarkan struktur solusinya. Jika mereka dapat menunjukkan bahwa set angka yang sama juga dapat diturunkan dari bentuk modular, mereka akan selesai. Angka -angka akan berfungsi sebagai tag yang unik, memungkinkan mereka untuk memasangkan masing -masing permukaan Abelian mereka dengan bentuk modular.
Masalahnya adalah bahwa sementara angka -angka ini mudah untuk menghitung untuk permukaan Abelian yang diberikan, ahli matematika tidak tahu bagaimana membangun bentuk modular dengan tag yang sama persis. Bentuk modular terlalu sulit untuk dibangun ketika persyaratan sangat dibatasi. “Objek yang Anda cari, Anda tidak benar -benar tahu mereka ada,” kata Pilloni.
Sebaliknya, ahli matematika menunjukkan bahwa itu akan terjadi cukup untuk membangun bentuk modular yang jumlahnya cocok dengan permukaan Abelian dalam arti yang lebih lemah. Angka -angka bentuk modular hanya harus setara di ranah apa yang dikenal sebagai aritmatika jam.
Bayangkan sebuah jam: Jika tangan jam dimulai pada 10 dan empat jam berlalu, jam akan menunjuk ke 2. Tetapi aritmatika jam dapat dilakukan dengan angka berapa pun, bukan hanya (seperti dalam kasus jam dunia nyata) angka 12.
Boxer, Calegari, Gee, dan Pilloni hanya perlu menunjukkan bahwa dua set angka mereka cocok ketika mereka menggunakan jam yang naik hingga 3. Ini berarti bahwa, untuk permukaan Abelian yang diberikan, ahli matematika memiliki lebih banyak fleksibilitas ketika datang untuk membangun bentuk modular yang terkait.
Tetapi bahkan ini terbukti terlalu sulit.
Kemudian mereka tersandung pada serangkaian bentuk modular yang angka -angka yang sesuainya mudah dihitung – selama mereka mendefinisikan angka mereka sesuai dengan jam yang naik ke 2. Tetapi permukaan Abelian membutuhkan satu yang naik hingga 3.
Para matematikawan memiliki gagasan tentang bagaimana secara kasar menjembatani kedua jam yang berbeda ini. Tetapi mereka tidak tahu bagaimana membuat koneksi kedap udara sehingga mereka dapat menemukan kecocokan sejati untuk permukaan Abelian di dunia bentuk modular. Kemudian sepotong matematika baru muncul yang ternyata adalah apa yang mereka butuhkan.
Pekerjaan Lue Pan di bidang teori bilangan yang tampaknya berbeda ternyata penting.
Bantuan kejutan
Pada tahun 2020, seorang ahli teori nomor bernama Baca panci Diposting a bukti Tentang bentuk modular yang awalnya tampaknya tidak terhubung dengan masalah kuartet. Tetapi mereka segera mengakui bahwa teknik yang ia kembangkan secara mengejutkan relevan. “Aku tidak berharap itu,” kata Pan.
Setelah bertahun -tahun pertemuan rutin, sebagian besar di zoom, ahli matematika mulai membuat kemajuan mengadaptasi teknik Pan, tetapi rintangan besar tetap ada. Kemudian, pada musim panas 2023, Boxer, Gee, dan Pilloni melihat konferensi di Bonn, Jerman, sebagai kesempatan sempurna untuk berkumpul bersama. Satu -satunya masalah adalah bahwa Calegari seharusnya melakukan perjalanan ke China pada saat yang sama untuk berbicara. Tetapi kunjungan yang sulit ke konsulat Cina di Chicago membuatnya mempertimbangkan kembali. “Delapan jam kemudian, visa saya ditolak dan mobil saya ditarik,” katanya. Dia memutuskan untuk membatalkan pembicaraan China dan bergabung dengan kolaboratornya di Jerman.
Wah, mengamankan tim sebuah kamar di ruang bawah tanah Hausdorff Research Institute, di mana mereka tidak mungkin terganggu oleh ahli matematika keliling. Di sana, mereka menghabiskan satu minggu penuh mengerjakan teorema Pan, satu hari 12 jam setelah yang berikutnya, hanya naik ke permukaan tanah sesekali untuk kafein. “Setelah minum kopi, kami akan selalu bercanda bahwa kami harus kembali ke tambang,” kata Pilloni.
Kesibukan terbayar. “Ada banyak tikungan yang akan datang kemudian,” kata Calegari, “tetapi pada akhir minggu itu saya pikir kami kurang lebih memilikinya.”
Butuh satu setengah tahun lagi untuk mengubah keyakinan Calegari menjadi bukti 230 halaman, yang mereka Diposting online di bulan Februari. Menyatukan semua bagian, mereka telah membuktikan bahwa permukaan Abelian biasa memiliki bentuk modular yang terkait.
Portal baru mereka suatu hari bisa menjadi sekuat hasil Taylor dan Wiles, mengungkapkan lebih banyak tentang permukaan Abelian daripada yang dianggap mungkin. Tapi pertama-tama, tim harus memperluas hasil mereka ke permukaan Abelian yang tidak teratur. Mereka telah bekerja sama dengan Pan untuk melanjutkan perburuan. “Sepuluh tahun dari sekarang, saya akan terkejut jika kita belum menemukan hampir semuanya,” kata Gee.
Pekerjaan ini juga memungkinkan matematikawan untuk merumuskan dugaan baru-seperti analog dari dugaan birch dan swinnerton-dyer yang melibatkan permukaan abelian alih-alih kurva elips. “Sekarang kita setidaknya tahu bahwa analog itu masuk akal” untuk permukaan biasa ini, kata Andrew Sutherlandahli matematika di Massachusetts Institute of Technology. “Sebelumnya kami tidak tahu itu.”
“Banyak hal yang saya impikan kita akan dapat membuktikan suatu hari sekarang dalam jangkauan karena teorema ini,” tambahnya. “Ini mengubah banyak hal.”
Cerita asli dicetak ulang dengan izin dari Berapa banyak majalahpublikasi editorial independen dari Yayasan Simons yang misinya adalah untuk meningkatkan pemahaman publik tentang sains dengan meliput perkembangan penelitian dan tren matematika dan ilmu fisik dan kehidupan.
