Siswa memecahkan masalah lama tentang batas penambahan

Versi aslinya dari cerita ini muncul di Berapa banyak majalah.

Gagasan paling sederhana dalam matematika juga bisa menjadi yang paling membingungkan.

Ambil tambahan. Ini adalah operasi langsung: salah satu kebenaran matematika pertama yang kita pelajari adalah bahwa 1 ditambah 1 sama dengan 2. Tetapi ahli matematika masih memiliki banyak pertanyaan yang belum terjawab tentang jenis -jenis pola yang dapat ditimbulkan oleh penambahan. “Ini adalah salah satu hal paling mendasar yang dapat Anda lakukan,” kata Benjamin Bedertseorang mahasiswa pascasarjana di University of Oxford. “Entah bagaimana, masih sangat misterius dalam banyak hal.”

Dalam menyelidiki misteri ini, ahli matematika juga berharap dapat memahami batas -batas kekuatan penambahan. Sejak awal abad ke-20, mereka telah mempelajari sifat set “bebas jumlah”-set angka di mana tidak ada dua angka dalam set akan menambah sepertiga. Misalnya, tambahkan dua angka ganjil dan Anda akan mendapatkan angka genap. Oleh karena itu, himpunan angka ganjil.

Dalam makalah 1965, ahli matematika yang produktif Paul Erdős mengajukan pertanyaan sederhana tentang seberapa umum set bebas jumlah. Tetapi selama beberapa dekade, kemajuan masalah dapat diabaikan.

“Ini adalah hal yang sangat mendasar yang kami miliki sedikit pemahaman yang mengejutkan,” kata Julian Sahasrabudheseorang ahli matematika di University of Cambridge.

Sampai Februari ini. Enam puluh tahun setelah ERD menjadi masalahnya, Bedert menyelesaikannya. Dia menunjukkan bahwa dalam setiap set yang terdiri dari bilangan bulat – angka penghitungan positif dan negatif – ada Subset besar angka yang harus bebas jumlah. Buktinya mencapai kedalaman matematika, teknik mengasah dari bidang yang berbeda untuk mengungkap struktur tersembunyi tidak hanya dalam set bebas jumlah, tetapi dalam semua jenis pengaturan lainnya.

“Ini pencapaian yang fantastis,” kata Sahasrabudhe.

Terjebak di tengah

ERD tahu bahwa setiap set bilangan bulat harus mengandung subset yang lebih kecil dan bebas jumlah. Pertimbangkan set {1, 2, 3}, yang tidak bebas jumlah. Ini berisi lima himpunan bagian bebas jumlah yang berbeda, seperti {1} dan {2, 3}.

ERDS ingin tahu seberapa jauh fenomena ini meluas. Jika Anda memiliki satu set dengan satu juta bilangan bulat, seberapa besar subset bebas jumlah terbesarnya?

Dalam banyak kasus, ini sangat besar. Jika Anda memilih satu juta bilangan bulat secara acak, sekitar setengahnya akan aneh, memberi Anda subset bebas jumlah dengan sekitar 500.000 elemen.

Dalam makalahnya tahun 1965, Erd’s menunjukkan – dalam bukti yang hanya beberapa baris, dan dipuji sebagai brilian oleh ahli matematika lainnya – bahwa setiap set dari N Integers memiliki subset bebas jumlah setidaknya N/3 elemen.

Tetap saja, dia tidak puas. Buktinya dibahas dengan rata-rata: ia menemukan kumpulan subset bebas jumlah dan menghitung bahwa ukuran rata-rata mereka N/3. Namun dalam koleksi seperti itu, himpunan bagian terbesar biasanya dianggap jauh lebih besar dari rata -rata.

ERD ingin mengukur ukuran subset bebas jumlah ekstra besar itu.

Matematikawan segera berhipotesis bahwa karena set Anda menjadi lebih besar, subset bebas jumlah terbesar akan menjadi jauh lebih besar dari N/3. Faktanya, penyimpangan akan tumbuh sangat besar. Prediksi ini-ukuran subset bebas jumlah terbesar N/3 ditambah beberapa penyimpangan yang tumbuh menjadi tak terbatas N—An sekarang dikenal sebagai set dugaan set-bebas.

“Mengejutkan bahwa pertanyaan sederhana ini tampaknya menghadirkan kesulitan yang cukup besar,” tulis Erd dalam makalah aslinya, “tapi mungkin kita mengabaikan yang jelas.”

Selama beberapa dekade, tidak ada yang jelas mengungkapkan dirinya. Tidak ada yang bisa meningkatkan bukti Erd. “Semakin lama pergi tanpa orang yang bisa meningkatkan batas sederhana itu, semakin banyak cap yang diperoleh masalah ini,” kata Ben GreenPenasihat Doktor Bedert di Oxford. Dan, dia menambahkan, ini adalah jenis masalah di mana “sangat, sangat sulit untuk melakukan yang lebih baik sama sekali.”

Menghadapi norma

Setelah 25 tahun tanpa meningkatkan hasil awal ERD, ahli matematika akhirnya mulai beringsut ke depan. Pada tahun 1990, dua peneliti membuktikan bahwa setiap set N bilangan bulat memiliki subset bebas jumlah dengan setidaknya N/3 + 1/3 elemen, lebih sering ditulis sebagai (N + 1)/3.

Tetapi karena ukuran satu set selalu menjadi bilangan bulat, peningkatan 1/3 sering kali tidak penting. Misalnya, jika Anda tahu bahwa subset bebas jumlah harus memiliki setidaknya 5/3 elemen, itu berarti ukurannya dijamin 2 atau lebih. Jika Anda menambahkan 1/3 hingga 5/3, jawaban Anda masih 2. “Ini lucu, itu berarti tidak selalu memperbaikinya,” kata David Conlon Institut Teknologi California. “Hanya saat N dapat dibagi dengan 3 yang meningkatkannya. “

Pada tahun 1997, legenda matematika Jean Bourgain menyenggol terikat hingga (N + 2)/3. Hasilnya mungkin tampaknya hampir tidak layak disebut, tetapi terkubur di kertas Bourgain adalah terobosan yang mengejutkan. Dia menggambarkan ide bagaimana membuktikan bahwa himpunan bagian bebas jumlah terbesar akan lebih besar secara sewenang-wenang dari itu. Dia tidak bisa menjabarkan detail untuk mengubahnya menjadi bukti lengkap.

“Koran hampir seperti, inilah cara saya mencoba menyelesaikan masalah dan mengapa itu tidak berhasil,” kata Sahasrabudhe.

Bourgain mengandalkan kuantitas yang disebut norma Littlewood, yang mengukur struktur set yang diberikan. Kuantitas ini, yang berasal dari bidang matematika yang disebut analisis Fourier, cenderung besar jika satu set lebih acak, dan kecil jika set menunjukkan lebih banyak struktur.

Bourgain menunjukkan bahwa jika satu set dengan N Elemen memiliki norma kecil yang besar, maka ia juga harus memiliki set bebas jumlah yang jauh lebih besar dari N/3. Tapi dia tidak bisa membuat kemajuan dalam kasus di mana set memiliki norma kecil kecil.

“Bourgain terkenal kompeten,” kata Sean Eberhard dari University of Warwick. “Ini penanda yang sangat mencolok tentang betapa sulitnya masalah ini.”

Bourgain akhirnya harus menggunakan argumen yang berbeda untuk mendapatkan batasannya (N + 2)/3. Tetapi ahli matematika membaca yang tersirat: mereka mungkin dapat menggunakan norma Littlewood untuk sepenuhnya menyelesaikan dugaan. Mereka hanya perlu mencari cara untuk menangani set dengan norma kecil kecil.

Ada alasan untuk menjadi optimis: ahli matematika sudah tahu set dengan norma kecil kecil yang memiliki subset bebas jumlah besar. Set ini, yang disebut progresif aritmatika, terdiri dari bilangan spasi yang merata, seperti {5, 10, 15, 20}. Matematikawan mencurigai bahwa setiap set dengan norma kecil kecil memiliki struktur yang sangat spesifik – bahwa itu kurang lebih kumpulan banyak progres aritmatika yang berbeda (dengan beberapa penyesuaian). Mereka berharap jika mereka dapat menunjukkan ini, mereka akan dapat menggunakan properti itu untuk membuktikan bahwa setiap set dengan norma kecil kecil memiliki subset bebas jumlah besar.

Tapi tugas ini tidak mudah. “Saya tentu mencoba membuktikan dugaan bebas jumlah menggunakan [Bourgain’s] Ide, “kata Green, tetapi” kami masih tidak mengerti banyak tentang struktur set dengan norma kecil kecil. Segala sesuatu yang berkaitan dengan Littlewood itu sulit. ”

Maka, meskipun ahli matematika terus memiliki keyakinan pada strategi berbasis Littlewood Bourgain, tidak ada yang terjadi.

Lebih dari dua dekade berlalu. Kemudian, pada musim gugur 2021, Benjamin Bedert memulai sekolah pascasarjana.

Masalah terkenal

Dengan Green sebagai penasihat doktoralnya, tidak dapat dihindari bahwa Bedert akan menemukan set dugaan set-bebas. Daftar situs web Green 100 masalah terbuka; Yang ini muncul lebih dulu.

Bedert meneliti daftar tak lama setelah ia memulai studi pascasarjana. Pada awalnya, ia menghindar dari masalah set bebas jumlah. “Saya seperti, ini sangat sulit, saya tidak akan memikirkan hal ini,” kenangnya. “Aku akan meninggalkan ini untuk masa depan.”

Masa depan segera tiba. Di musim panas 2024, Bedert memutuskan dia siap untuk proyek yang lebih berisiko. “Saya telah membuktikan beberapa hasil yang cukup baik dalam PhD saya sejauh ini, dan semacam ini sudah menyatukan tesis,” katanya. “Saya mulai memikirkan ini lebih banyak, saya kira, masalah yang terkenal kejam.”

Dia membaca makalah Bourgain tahun 1997 dan mulai merenung tentang cara mengimplementasikan cetak biru Littlewood. Hampir segera, dia punya ide bagaimana dia bisa mendekati masalah set dengan norma kecil kecil.

Sejauh ini, terlalu sulit untuk menunjukkan bahwa set dengan norma kecil kecil selalu menyerupai koleksi perkembangan aritmatika. Tetapi Bedert berpikir mungkin berguna untuk membuktikan sesuatu yang lebih dapat dicapai: bahwa bahkan jika set ini tidak secara harfiah dibangun dari perkembangan aritmatika, mereka berbagi kunci tertentu, properti seperti perkembangan.

Dalam sebuah proyek baru -baru ini, Bedert menemukan apa yang dilihatnya sebagai kandidat yang baik untuk fokus pada properti. Dalam perkembangan aritmatika, ada banyak kelompok angka yang memiliki jumlah yang sama. Misalnya, dalam set angka genap (yang merupakan perkembangan aritmatika), 4 + 8 memiliki jumlah yang sama dengan 2 + 10 dan 2 + 4 + 6. Bedert berpikir itu mungkin cukup untuk menunjukkan bahwa set dengan norma kecil kecil selalu mematuhi properti ini.

Dalam beberapa minggu, dia berhasil membuktikan bahwa properti itu benar. Tetapi akankah hasilnya akan memberinya tingkat kemiripan dengan perkembangan aritmatika yang ia butuhkan untuk membuktikan set yang bebas jumlah dugaan?

“Saya benar -benar bersemangat,” katanya. “Lalu aku menyadari masih ada lebih banyak pekerjaan yang harus dilakukan.”

Gelombang kemajuan

Pertama, Bedert menunjukkan bahwa setiap set dengan norma kecil kecil dapat “dipetakan” ke set kedua yang memiliki kemiripan yang lebih dekat dengan perkembangan aritmatika. Dia curiga di set baru inilah dia akan menemukan subset bebas jumlah besar.

Tugas terakhir adalah untuk benar-benar menunjukkan berapa ukuran subset bebas jumlah seperti itu. “Selama liburan Natal, saya secara obsesif memikirkan masalah ini,” kata Bedert. “Pada Tahun Baru, saya masih belum menemukan bagian terakhir dari teka -teki itu.”

Kemudian, beberapa hari setelah dia kembali ke Oxford pada bulan Januari, itu datang kepadanya. “Aku tidak yakin dari mana asalnya,” katanya. “Mungkin ide -ide ini menggerakkan pikiran Anda untuk sementara waktu, dan kemudian [you] Akhirnya dapatkan sesuatu yang berhasil. “

Dia mewakili struktur set -nya menggunakan alat yang disebut Fourier Transform, dan kemudian dimodifikasi bukti 1981 Untuk menunjukkan bahwa beberapa komponen individu dari representasi itu harus memiliki norma Littlewood yang besar. Karena Bourgain telah menunjukkan cara menangani set dengan norma -norma kecil yang besar, itu melengkapi buktinya.

Pada akhirnya, Bedert menunjukkan bahwa setiap set N Integers memiliki subset bebas jumlah dengan setidaknya N/3 + log (log N) elemen. Untuk banyak nilai Nini memberi Anda subset bebas jumlah yang hanya sedikit lebih besar dari ukuran rata-rata Erd N/3. Meskipun N adalah sebesar 10¹⁰⁰misalnya, log (log N) hanya sekitar 5. Tapi sebagai N inci menuju tak terbatas, begitu pula perbedaan dalam batas Bedert dan Erd – dengan demikian menyelesaikan dugaan.

“Ini hasil yang sangat luar biasa,” kata Yifan Jing dari Universitas Negeri Ohio. Jing, yang juga dibimbing oleh Green, memuji pencapaian untuk Bedert fokus yang intens. “Benjamin benar -benar mendalam untuk memodifikasi bukti Bourgain dan membuatnya bekerja,” katanya. “Dia menghabiskan lebih banyak waktu daripada orang lain untuk masalah yang sama.”

Masih banyak lagi yang bisa dipahami tentang himpunan bagian bebas jumlah-dan karena itu tentang sejauh mana penambahan mempengaruhi struktur bilangan bulat. Misalnya, hasil Bedert menyelesaikan pertanyaan apakah subset bebas jumlah terbesar menjadi jauh lebih besar dari N/3. Tetapi ahli matematika tidak tahu persis seberapa cepat penyimpangan itu dapat tumbuh. Berkat makalah 2014 oleh hijau dan dua kolega, mereka tahu bahwa penyimpangan lebih lambat dari N. Tapi, Green berkata, “masih ada celah besar” antara batas atas itu N dan batas bawah Log Bedert (Log N).

Pekerjaan ini juga memberikan wawasan baru tentang set yang memiliki norma kecil kecil. Set tersebut adalah objek mendasar di bidang analisis tetapi sangat sulit dipelajari. Hasil Bedert telah membantu matematikawan lebih memahami struktur mereka, yang Green dan lainnya sekarang berharap untuk terus mengeksplorasi. “Sangat indah, menarik, rasanya alami,” kata Eberhard. “Kamu ingin menyelesaikan misteri, bukan?”

Untuk Sahasrabudhe, takeaway sederhana. “Masalah lama dan sulit diselesaikan oleh anak yang brilian,” katanya. “Barang yang dia bangun, itu halus dan sulit untuk dikerjakan. Ini hasil yang sangat cantik.”

Cerita asli dicetak ulang dengan izin dari Berapa banyak majalahpublikasi editorial independen dari Yayasan Simons yang misinya adalah untuk meningkatkan pemahaman publik tentang sains dengan meliput perkembangan penelitian dan tren matematika dan ilmu fisik dan kehidupan.