Membongkar Cara Mengukur Kompleksitas Simpul

Versi aslinya dari cerita ini muncul di Majalah Kuanta.

Pada tahun 1876, Peter Guthrie Tait mulai mengukur apa yang disebutnya “terpotong” dari simpul.

Ahli matematika Skotlandia, yang penelitiannya meletakkan dasar bagi teori simpul modern, sedang mencoba menemukan cara untuk membedakan simpul—sebuah tugas yang sangat sulit. Dalam matematika, simpul adalah seutas tali kusut yang ujung-ujungnya direkatkan. Dua simpul adalah sama jika Anda dapat memelintir dan meregangkan satu sama lain tanpa memotong talinya. Namun sulit untuk mengatakan apakah hal ini mungkin terjadi hanya berdasarkan seperti apa simpulnya. Simpul yang tampak sangat rumit dan kusut, misalnya, mungkin sebenarnya setara dengan simpul sederhana.

Tait punya ide bagaimana menentukan apakah dua simpul berbeda. Pertama, letakkan simpul di atas meja dan temukan tempat di mana tali itu menyilang. Potong talinya, tukar posisi untaiannya, dan rekatkan semuanya kembali. Ini disebut perubahan penyeberangan. Jika Anda melakukan ini cukup sering, Anda akan mendapatkan lingkaran yang tidak terikat. Keterikatan Tait adalah jumlah minimum perubahan penyeberangan yang diperlukan oleh proses ini. Saat ini, angka ini dikenal sebagai “angka tanpa simpul” dari suatu simpul.

Jika dua simpul mempunyai nomor simpul yang berbeda, maka keduanya pasti berbeda. Namun Tait mendapati bahwa angka-angka yang tidak diketahuinya menghasilkan lebih banyak pertanyaan daripada jawaban.

“Saya telah menguasai satu alur secara menyeluruh,” tulisnya surat untuk seorang temanilmuwan James Clerk Maxwell, “bahwa saya khawatir saya mungkin melewatkan atau terlalu meninggikan sesuatu yang akan tampak terlalu sederhana bagi siapa pun kecuali diri saya sendiri.”

Jika Tait melewatkan sesuatu, begitu pula setiap ahli matematika yang mengikutinya. Selama 150 tahun terakhir, banyak ahli teori simpul yang dibuat bingung oleh angka yang tidak dapat disimpulkan. Mereka tahu itu bisa memberikan gambaran yang kuat tentang sebuah simpul. “Itu yang paling mendasar [measure] dari semuanya, bisa dibilang, ”kata Susan Hermiller dari Universitas Nebraska. Namun seringkali sangat sulit untuk menghitung jumlah simpul yang tidak ada, dan tidak selalu jelas bagaimana angka tersebut berhubungan dengan kompleksitas simpul.

Untuk mengungkap misteri ini, para ahli matematika di awal abad ke-20 menyusun dugaan langsung tentang bagaimana bilangan tanpa simpul berubah ketika Anda menggabungkan simpul. Jika mereka dapat membuktikannya, mereka akan memiliki cara untuk menghitung bilangan tanpa simpul untuk setiap simpul—memberikan para ahli matematika cara yang sederhana dan konkrit untuk mengukur kompleksitas simpul.

Para peneliti melakukan pencarian selama hampir satu abad, dan hanya menemukan sedikit bukti yang mendukung atau menentang dugaan tersebut.

Kemudian, dalam sebuah makalah yang diposting pada bulan Juni, Hermiller dan kolaborator lamanya Tandai Brittenham mengungkap sepasang simpul yang jika digabungkan akan membentuk simpul yang lebih mudah dilepaskan daripada perkiraan dugaan. Dengan melakukan hal itu, mereka membantah dugaan tersebut—Dan menggunakan contoh tandingan mereka untuk menemukan banyak sekali pasangan simpul lain yang juga menyangkalnya.

“Ketika surat kabar itu diposting, saya terengah-engah,” katanya Allison Moore dari Universitas Persemakmuran Virginia.

Hasilnya menunjukkan bahwa “angka yang tidak diketahui itu kacau dan tidak dapat diprediksi serta sangat menarik untuk dipelajari,” tambahnya. Surat kabar tersebut “seperti mengibarkan bendera yang bertuliskan, kami tidak memahami hal ini.”

Unknotting dan Great Unknown

Dugaan ini dimulai setidaknya pada tahun 1937, ketika matematikawan Jerman Hilmar Wendt mulai memahami apa yang terjadi saat Anda menambahkan simpul—yaitu, saat Anda mengikat keduanya dengan tali yang sama sebelum merekatkan ujungnya menjadi satu. (Para ahli matematika menyebut simpul gabungan ini sebagai “jumlah sambung.”) Wendt berpendapat bahwa bilangan yang tidak diikat dari simpul yang dihasilkan harus selalu merupakan jumlah dari bilangan yang tidak diikat dari dua simpul asli.

Prediksinya, yang sekarang dikenal sebagai dugaan aditif, masuk akal. Katakanlah Anda menjumlahkan dua simpul di atas, yang bilangan tanpa simpulnya diketahui sebagai 2 dan 3. Artinya, terdapat rangkaian dua perubahan persilangan yang menghilangkan simpul sisi kiri dari jumlah sambungan, dan rangkaian tiga perubahan persilangan yang menghilangkan simpul sisi kanan. Jika Anda menggunakan urutan ini, Anda dapat menghapus seluruh simpul dalam 2 + 3, atau 5, dengan menyilangkan perubahan.

Namun hal ini hanya memberi tahu Anda bahwa angka tak terikat dari jumlah penghubung tidak lebih besar dari 5. Anda mungkin dapat menemukan rangkaian perubahan persilangan yang lebih efisien daripada melepaskan setiap sisi satu per satu. Artinya, mungkin terdapat simpul yang sebenarnya lebih kecil dari jumlah bagian-bagiannya.

Untuk menyelesaikan dugaan penjumlahan, ahli matematika harus menemukan jumlah koneksi dengan barisan tanpa simpul yang lebih pendek atau membuktikan bahwa tidak ada contoh seperti itu. Apa pun kasusnya, mereka tidak tahu harus mulai dari mana.

Salah satu masalahnya adalah cara Anda menyusun simpul—yang oleh para ahli matematika disebut sebagai “diagram”—menentukan di mana dan bagaimana simpul itu bersilangan. Ada banyak diagram yang dapat mewakili simpul yang sama. Untuk menemukan urutan perubahan persilangan terpendek, Anda mungkin harus memilih diagram yang tepat. Seringkali, itu bukan simpul yang biasanya Anda kaitkan dengan simpul.

“Ada banyak cara yang tak terbayangkan untuk mencoba dan membayangkan mengubah diagram Anda sebelum Anda memutuskan untuk memperkenalkan perubahan penyeberangan,” kata Brittenham. “Kami, setidaknya pada awalnya, tidak memiliki kendali atas betapa rumitnya gambaran tersebut.”

Pada tahun 1985, ahli matematika Martin Scharlemann akhirnya mencapai kemajuan ketika ia membuktikan bahwa untuk dua simpul mana pun yang bilangan tak simpulnya adalah 1, jumlah sambungannya akan selalu memiliki angka 2 yang tidak diketahui. “Itu berhasil [the whole conjecture] tampaknya jauh lebih mungkin,” kata Charles Livingstone dari Universitas Indiana.

Hasilnya memberikan bukti yang menggiurkan bahwa alam semesta yang penuh simpul bisa diatur dengan rapi. Hal ini karena semua simpul dapat dibuat dari kelas simpul “prima” yang lebih kecil. Dugaan aditif menyiratkan bahwa setelah Anda mengetahui jumlah simpul prima yang tidak ada simpulnya, Anda akan mengetahuinya untuk semua simpul. Informasi apa pun yang mungkin Anda inginkan tentang simpul tertentu akan secara alami keluar dari kumpulan yang lebih sederhana itu.

Para matematikawan ingin dugaan itu benar, katanya Arunima Ray dari University of Melbourne, “karena hal itu berarti akan ada keteraturan di dunia.”

Hasil Scharlemann adalah sesuatu kemudian diperpanjang ke kelas simpul lainnya. Namun tidak jelas apakah ini akan berlaku untuk semua simpul.

Kemudian Brittenham dan Hermiller mengumpulkan sekelompok komputer untuk membantu.

sepatu kets

Pasangan ini memulai proyek mereka satu dekade yang lalu dengan tujuan yang lebih luas: menggunakan komputer untuk mempelajari apa pun yang mereka bisa tentang angka yang tidak diketahui.

Mereka menoleh ke perangkat lunak yang dikenal sebagai SnapPyyang menggunakan teknik geometris canggih untuk menguji apakah dua gambar menggambarkan simpul yang sama. Beberapa tahun sebelumnya, SnapPy telah memperluas basis datanya secara signifikan, memungkinkannya mengidentifikasi hampir 60.000 knot unik.

Itu sangat cocok dengan apa yang ada dalam pikiran Brittenham dan Hermiller. Mereka memulai dengan satu simpul rumit dan menerapkan setiap perubahan persilangan yang bisa dibayangkan, sehingga menghasilkan sejumlah simpul baru. Mereka kemudian menggunakan SnapPy untuk mengidentifikasi simpul tersebut—dan mengulangi prosesnya.

Mereka melakukan ini untuk jutaan diagram simpul yang berhubungan dengan ratusan ribu knot. Pada akhirnya, mereka mengumpulkan perpustakaan informasi yang sangat besar tentang rangkaian tanpa simpul dan menghitung batas atas pada jumlah ribuan knot yang tidak terikat. Pekerjaan ini membutuhkan banyak daya komputasi: Pasangan ini mendaftar untuk waktu superkomputer di pusat komputasi Universitas Nebraska, sambil juga menjalankan program mereka di laptop lama yang mereka beli di lelang. Secara keseluruhan, mereka mengelola lusinan komputer. “Kami memiliki sedikit sneakernet,” kata Brittenham, “di mana Anda mentransfer informasi dari komputer ke komputer dengan berjalan di antara keduanya.”

Duo ini terus menjalankan program mereka selama lebih dari satu dekade. Selama waktu itu, beberapa komputer dari koleksi mereka mengalami panas berlebih dan bahkan terbakar. “Ada satu yang benar-benar mengeluarkan percikan api,” kata Brittenham. “Itu menyenangkan sekali.” (Mesin-mesin itu, tambahnya, “sudah pensiun dengan hormat.”)

Kemudian, pada musim gugur tahun 2024, muncul makalah tentang a upaya gagal untuk menggunakan pembelajaran mesin untuk menyangkal dugaan aditif yang menarik perhatian Brittenham dan Hermiller. Mungkin, menurut mereka, pembelajaran mesin bukanlah pendekatan terbaik untuk masalah khusus ini: Jika ada contoh tandingan terhadap dugaan aditif, maka hal tersebut akan menjadi “jarum di tumpukan jerami,” kata Hermiller. “Itu bukanlah hal yang dimaksud dengan pembelajaran mesin. Ini tentang mencoba menemukan pola dalam berbagai hal.”

Namun hal ini memperkuat kecurigaan yang sudah dimiliki pasangan tersebut—bahwa mungkin jaring sepatu mereka yang telah diasah dengan lebih hati-hati dapat menemukan jawabannya.

Ikatan Yang Mengikat

Brittenham dan Hermiller menyadari bahwa mereka dapat memanfaatkan rangkaian tanpa simpul yang telah mereka temukan untuk mencari contoh tandingan yang potensial terhadap dugaan aditif.

Bayangkan lagi bahwa Anda memiliki dua simpul yang nomor simpulnya adalah 2 dan 3, dan Anda mencoba untuk melepaskan simpul jumlah simpulnya. Setelah satu kali pergantian persimpangan, Anda mendapatkan simpul baru. Jika dugaan aditif dapat dipercaya, maka jumlah simpul asli yang tidak diikat haruslah 5, dan simpul baru ini harusnya 4.

Namun bagaimana jika angka simpul baru yang belum diketahui ini sudah diketahui menjadi 3? Itu menyiratkan bahwa simpul asli dapat dilepaskan hanya dalam empat langkah, sehingga mematahkan dugaan tersebut.

“Kami mendapatkan simpul tengah ini,” kata Brittenham. “Apa yang bisa kita pelajari dari mereka?”

Dia dan Hermiller sudah memiliki alat yang sempurna untuk melakukan aktivitas tersebut di laptop mereka: database yang telah mereka kembangkan selama dekade sebelumnya, dengan batas atasnya pada ribuan knot.

Para ahli matematika mulai menjumlahkan pasangan simpul dan mengerjakan rangkaian jumlah koneksinya yang tidak terikat. Mereka fokus pada penjumlahan sambung yang angka-angkanya hanya diperkirakan dalam arti yang paling longgar, dengan kesenjangan yang besar antara nilai tertinggi dan terendahnya. Namun hal ini masih menyisakan banyak sekali simpul yang harus diselesaikan— “pastinya puluhan juta, dan mungkin ratusan juta,” kata Brittenham.

Selama berbulan-bulan, program komputer mereka menerapkan perubahan persilangan pada simpul-simpul ini dan membandingkan simpul-simpul yang dihasilkan dengan simpul-simpul yang ada di database mereka. Suatu hari di akhir musim semi, Brittenham memeriksa file keluaran program, seperti yang dilakukannya hampir setiap hari, untuk melihat apakah ada sesuatu yang menarik yang muncul. Yang sangat mengejutkannya, ada sebaris teks: “CONNECT SUM BROKEN.” Itu adalah pesan yang dia dan Hermiller masukkan ke dalam programnya—tapi mereka tidak pernah berharap untuk benar-benar melihatnya.

Awalnya mereka ragu dengan hasilnya. “Hal pertama yang terjadi gh kepala kami ada yang salah dengan program kami,” kata Brittenham.

“Kami benar-benar membuang semuanya,” kenang Hermiller. “Semua kehidupan hilang begitu saja. Makan, tidur jadi menjengkelkan.”

Tapi program mereka berhasil. Mereka bahkan mengikat simpul yang telah diidentifikasi dengan tali, lalu melakukan prosedur pelepasan simpul dengan tangan, hanya untuk memastikan.

Contoh tandingan mereka adalah nyata.

Misteri yang Memutar

Contoh tandingan yang ditemukan Brittenham dan Hermiller dibuat dari dua salinan simpul yang disebut simpul torus (2, 7). Simpul ini dibuat dengan melilitkan dua senar sebanyak tiga setengah kali dan kemudian merekatkan ujung-ujungnya yang berlawanan. Bayangan cerminnya dibuat dengan memutar tiga setengah kali ke arah lain.

Jumlah simpul torus (2, 7) dan bayangan cerminnya adalah 3. Namun program Brittenham dan Hermiller menemukan bahwa jika Anda menjumlahkan simpul-simpul ini, Anda dapat menghilangkan simpul-simpul tersebut hanya dalam lima langkah—bukan enam, seperti prediksi dugaan aditivitas.

“Ini adalah contoh tandingan yang sangat sederhana,” kata Moore. “Hal ini disebabkan karena perubahan penyeberangan yang tidak dapat diprediksi.”

Hasilnya membawa Brittenham dan Hermiller ke daftar contoh tandingan lainnya yang tak ada habisnya, termasuk hampir semua simpul yang dibuat dengan melilitkan dua senar dan merekatkannya.

Kini, dengan hilangnya dugaan aditif, komunitas teori simpul memiliki dunia yang luas untuk dijelajahi.

Bagi beberapa ahli matematika, hasil baru ini membawa kekecewaan. Hal ini mengungkapkan bahwa struktur di dunia simpul lebih sedikit dari yang mereka harapkan. Angka yang tidak diketahui adalah “tidak berperilaku sebaik yang kita inginkan,” kata Ray. “Itu agak menyedihkan.”

Namun dari sudut pandang lain, hal itu hanya membuat angka yang tidak diketahui menjadi lebih menarik. “Ada lebih banyak kompleksitas dan ketidakpastian tentang teori simpul dibandingkan yang kita ketahui beberapa bulan lalu,” kata Livingston.

Sifat kompleksitas tambahan tersebut masih belum jelas. Selama pemeriksaan mendalam terhadap contoh tandingan mereka, Brittenham dan Hermiller tidak mampu mengembangkan intuisi mengapa hal itu mematahkan dugaan aditivitas sedangkan simpul lain tidak. Memahami hal ini dapat membantu ahli matematika untuk lebih memahami apa yang membuat beberapa simpul rumit dan simpul lainnya tidak terlalu rumit.

“Saya masih terhalang oleh pertanyaan paling mendasar ini” tentang angka yang tidak diketahui, kata Moore. “Itu hanya menyalakan api di bawahmu.”

Catatan Editor: Penelitian Brittenham dan Hermiller didanai sebagian oleh Simons Foundation, yang juga mendanai penelitian ini. majalah yang independen secara editorial. Keputusan pendanaan Simons Foundation tidak berpengaruh terhadap liputan kami.

Cerita asli dicetak ulang dengan izin dari Majalah Kuantasebuah publikasi independen secara editorial dari Yayasan Simons yang misinya adalah untuk meningkatkan pemahaman masyarakat terhadap sains dengan meliput perkembangan dan tren penelitian di bidang matematika serta ilmu fisika dan kehidupan.