Matematika Tersembunyi dari Gelombang Laut

Versi aslinya dari cerita ini muncul di Majalah Kuanta.

Keuntungan terbaik dari Alberto MasperoTugasnya, katanya, adalah pemandangan dari jendelanya. Terletak di sebuah bukit di atas kota pelabuhan kuno Trieste, Italia, kantornya di International School for Advanced Studies menghadap ke teluk luas di ujung utara Laut Adriatik. “Ini sangat menginspirasi,” kata ahli matematika itu. “Tentunya pemandangan paling indah yang pernah saya alami.”

Orang Italia menyebutnya Trieste kota Borasetelah angin “bora” yang terkenal, yang bertiup secara tidak menentu dari Pegunungan Alpen dan melintasi kota. Ketika bora cukup kuat, ia mendorong gelombang menjadi terbalik. Alih-alih menabrak dermaga, mereka malah menjauhi kota, kembali ke laut lepas.

Tapi mereka tidak pernah benar-benar sampai di sana. Melihat dari jendelanya pada hari-hari yang berangin kencang ini, Maspero dapat melihat ombak yang surut perlahan-lahan menghilang saat keluar dari pelabuhan, akhirnya digantikan oleh permukaan yang tenang dan tenang.

Persamaan yang digunakan para ahli matematika untuk mempelajari aliran air dan fluida lainnya—yang pertama kali ditulis oleh Leonhard Euler hampir 300 tahun yang lalu—terlihat cukup sederhana. Jika Anda mengetahui lokasi dan kecepatan setiap tetesan air, dan menyederhanakan perhitungan dengan mengasumsikan tidak ada gesekan internal, atau viskositas, menyelesaikan persamaan Euler akan memungkinkan Anda memprediksi bagaimana air akan berevolusi dalam jangka waktu tertentu. Beragamnya fenomena yang kita lihat di lautan dunia—tsunami, pusaran air, arus pasang surut—adalah solusi persamaan Euler.

Namun persamaan tersebut biasanya tidak mungkin diselesaikan. Bahkan salah satu jenis solusi yang paling sederhana dan paling umum—yang menggambarkan rangkaian gelombang yang bergulung lembut—adalah mimpi buruk matematis jika diekstraksi dari persamaan Euler. Hingga sekitar 30 tahun yang lalu, sebagian besar pengetahuan kita tentang gelombang ini hanya berasal dari gabungan pengamatan dan dugaan di dunia nyata. Pada umumnya, pembuktian tampak seperti khayalan belaka.

“Sebelum memulai matematika, saya pikir gelombang air adalah sesuatu yang sangat dipahami—tidak menjadi masalah sama sekali,” katanya Paolo Venturaseorang rekan pascadoktoral di Institut Teknologi Federal Swiss Lausanne dan mantan mahasiswa pascasarjana Maspero. “Tetapi kenyataannya, mereka aneh.”

Salah satu fenomena aneh yang membingungkan para matematikawan selama beberapa dekade adalah, meskipun gesekannya minimal, rangkaian gelombang yang bergulung lembut itu pada akhirnya akan hancur dan menjadi tidak beraturan. Para matematikawan tidak menyangka akan melihat perilaku tidak stabil seperti itu muncul dari titik awal yang sederhana. Mereka ingin membuktikannya—untuk menunjukkan bahwa ketidakstabilan muncul secara alami dari persamaan Euler. Namun mereka tidak tahu bagaimana cara melakukannya.

Sekarang Maspero dan Ventura, bersama rekan mereka di Trieste Massimiliano Berti dan Livia Corsi dari Universitas Roma Tre, akhirnya menyajikan bukti tersebut, menunjukkan dengan tepat kapan ketidakstabilan ini terjadi dan kapan tidak terjadi. Hasilnya hanyalah sebuah kebangkitan terbaru yang mulai mengubah pemahaman matematis kita tentang gelombang bumi. Matematikawan telah menggunakan alat komputasi baru untuk merumuskan dugaan tentang perilaku gelombang. Dan mereka kini mengembangkan teknik pena dan kertas yang canggih untuk membuktikan dugaan tersebut.

“Ini bukan satu hal tertentu. Ini adalah gelombang analisis jenis baru dalam berbagai arah,” katanya Walter Straussseorang ahli matematika di Brown University. “Saya sangat terkesan.”

Gelombang Lambat

Orang-orang Yunani kuno sering menyamakan hentakan ombak yang tidak stabil di pantai dengan tawa. Mengingat gelombang-gelombang tersebut tidak dapat dipahami manusia, mungkin mereka benar: Lautan telah menertawakan kita selama ini.

Bahkan pada puncak Pencerahan di akhir abad ke-17 dan awal abad ke-18, ketika gelombang mengambil alih sebagian besar wacana ilmiah, lautan sepertinya selalu menjadi penentu akhir. Sejumlah ilmuwan telah mengukur kecepatan gelombang suara, dan Newton serta para pengkritiknya terjebak dalam konflik mengenai sifat cahaya yang mirip gelombang. Namun gelombang tertua yang diketahui manusia masih merupakan teka-teki matematika.

Diperlukan waktu lebih dari satu abad untuk mulai mengubah hal ini. Pada awal tahun 1800-an, Sir George Stokes menjadi terpesona dengan gelombang laut ketika, saat masih kecil, dia berenang di dekat rumahnya di Sligo, Irlandia, dan gelombang besar hampir menyeretnya ke laut. Pada tahun 1847, ia menerbitkan sebuah risalah monumental tentang topik tersebut. Dia memulai dengan persamaan Euler untuk fluida tanpa viskositas dan menambahkan kondisi matematis bahwa permukaan atasnya harus benar-benar “bebas”—diizinkan mengambil bentuk apa pun yang diinginkannya.

“Kelihatannya tidak buruk,” kata Strauss tentang persamaan yang dihasilkan. “Tetapi lihat saja sebuah danau yang sedikit berangin. Anda akan menemukan semua bentuk rumit ini, seperti ombak yang memutih dan ombak yang bergulung, ada yang sejajar satu sama lain, ada yang tidak.”

Masing-masing bentuk yang bervariasi ini, jika dipahami sebagai solusi persamaan Euler, berbeda secara matematis dan sangat sulit digunakan. Lakukan perubahan sekecil apa pun pada keadaan awal cairan, dan cairan tersebut mungkin akan berevolusi dengan cara yang sangat berbeda—benjolan dan pusaran dapat menjadi gelombang besar dan tsunami.

Permukaan yang bebas dan bergerak inilah yang ingin dipelajari Stokes. Namun tantangannya sangat besar. Menggambarkan gerakan air yang terkurung di dalam kotak, atau mengalir melalui pipa, sudah cukup sulit. Namun setidaknya Anda tahu di mana letak tepian sistem tersebut—tidak ada air yang dapat melampaui batas tersebut. Jika tidak ada batasan selain gaya gravitasi mengenai seberapa tinggi air dapat mencapai dan bagaimana bentuk air tersebut, penghitungannya menjadi jauh lebih sulit.

“Kalau saya ke pantai jam tujuh pagi, suasananya akan sangat tenang,” kata Corsi. “Tetapi jika Anda benar-benar melihat permukaannya, bagaimana ia bergerak, itu berantakan.”

Namun, Stokes mampu menebak satu solusinya: permukaan air mungkin saja membentuk gelombang dengan jarak yang sama dan bergerak dalam satu arah.

Pada tahun 1920-an, ahli matematika membuktikan dugaan Stokes. Lebih jauh lagi, mereka menemukan bahwa jika tidak ada gangguan eksternal, solusi persamaan Euler ini akan bertahan selamanya: Begitu terbentuk, gelombang Stokes akan terus meluncur dengan riang di sepanjang permukaan air sepanjang waktu, dan bentuknya tidak berubah.

Namun bagaimana jika perahu yang melintas melintasi jalur ombak? Akankah gelombang menyerap gangguan ini dan mempertahankan bentuknya, atau akankah gelombang tersebut terganggu secara permanen, lalu berubah menjadi pola gelombang yang sama sekali berbeda?

Selama beberapa dekade, para ahli matematika berasumsi bahwa gelombang Stokes stabil, artinya distorsi sekecil apa pun akan berdampak minimal. Bagaimanapun, dunia nyata penuh dengan komplikasi seperti itu, namun lautan penuh dengan gelombang Stokes. Jika mereka hancur berkeping-keping, mereka tidak akan bertahan cukup lama untuk sampai ke pantai.

Namun, pada tahun 1967, ahli matematika T. Brooke Benjamin memutuskan untuk memverifikasi asumsi dasar ini. Dia meminta muridnya Jim Feir melakukan serangkaian eksperimen di tangki gelombang—kolam persegi panjang sempit dengan kemudi berosilasi di salah satu ujungnya yang dapat menghasilkan gelombang Stokes. Tapi Feir tidak bisa membuat ombak mencapai ujung lain kolam. Awalnya, dia mengira ada masalah dengan pengaturan eksperimental. Namun tak lama kemudian menjadi jelas bahwa gelombang tersebut, secara mengejutkan, tidak stabil.

Pada tahun 1995, para ahli matematika akhirnya membuktikan bahwa “ketidakstabilan Benjamin-Feir” memang benar adanya sebuah konsekuensi yang tidak bisa dihindari dari persamaan Euler. Namun penelitian ini membuat para peneliti bertanya-tanya tentang sifat ketidakstabilan ini. Gangguan apa saja yang dapat mematikan gelombang dan mana yang tidak? Seberapa cepat ketidakstabilan meningkat? Mungkinkah hembusan angin di tengah Pasifik menyebabkan rangkaian gelombang menghantam Pantai Malibu beberapa minggu kemudian, atau akankah formasi tersebut pecah sebelum mencapai pantai?

Kepulauan yang Aneh

Maspero tidak pernah terpikir untuk bertanya-tanya mengapa ombak yang keluar dari teluk Trieste mati. Inspirasinya akhirnya datang dari komputer, bukan pemandangan di luar jendelanya.

Pada lokakarya tahun 2019 tentang matematika gelombang, ia dan kolaboratornya bertemu Bernard Dekoninckseorang ahli matematika terapan di Universitas Washington yang, bersama dengan Katie Oliveras dari Universitas Seattle, telah memetakan semua ketidakstabilan yang dapat menghancurkan gelombang Stokes. Beberapa tahun sebelumnya, pasangan ini telah memperhatikan pola yang menakjubkan, dan mereka tidak dapat berhenti memikirkannya.

Ketika rangkaian gelombang Stokes yang sempurna menghadapi gangguan yang mengubah bentuk gelombang, terkadang efek gangguan tersebut berkembang hingga menghancurkan seluruh rangkaian, dan terkadang hampir tidak mengganggu. Hasilnya bergantung pada frekuensi gangguan—seberapa besar osilasinya dibandingkan dengan panjang gelombang aslinya. Sebuah kayak, yang menghasilkan getaran yang pendek dan sering, akan menghasilkan dampak dengan frekuensi yang lebih tinggi dibandingkan kapal laut besar, yang menghasilkan osilasi yang lebih lama dan lebih lambat.

Secara umum, ahli matematika memperkirakan gelombang akan lebih mudah pulih dari gangguan berfrekuensi tinggi seperti yang terjadi pada kayak, karena dampaknya terbatas pada wilayah yang lebih kecil dari gelombang yang lewat pada saat tertentu. Sebaliknya, kebangkitan kapal laut dapat mempengaruhi seluruh gelombang sekaligus, sehingga mengganggunya secara permanen. Ketidakstabilan Benjamin-Feir disebabkan oleh gangguan frekuensi rendah.

Pada tahun 2011, Deconinck dan Oliveras mensimulasikan berbagai gangguan dengan frekuensi yang semakin tinggi dan mengamati apa yang terjadi pada gelombang Stokes. Seperti yang mereka perkirakan, untuk gangguan di atas frekuensi tertentu, gelombangnya akan tetap ada.

Namun ketika pasangan ini terus meningkatkan frekuensinya, mereka tiba-tiba mulai melihat kehancuran lagi. Awalnya Oliveras khawatir ada bug pada program komputernya. “Sebagian dari diriku merasa, ini tidak benar,” katanya. “Tetapi semakin saya menggali, semakin kuat pula penyakit itu bertahan.”

Faktanya, seiring dengan meningkatnya frekuensi gangguan, muncul pola bolak-balik. Pertama, ada interval frekuensi dimana gelombang menjadi tidak stabil. Hal ini diikuti oleh interval stabilitas, diikuti oleh interval ketidakstabilan lainnya, dan seterusnya.

Deconinck dan Oliveras mempublikasikan temuan mereka sebagai dugaan yang berlawanan dengan intuisi: bahwa kepulauan ketidakstabilan ini membentang hingga tak terbatas. Mereka menyebut semua wilayah yang tidak stabil itu sebagai “isolasi”—kata dalam bahasa Italia yang berarti “pulau”.

Aneh sekali. Pasangan ini tidak mempunyai penjelasan mengapa ketidakstabilan akan muncul lagi, apalagi berkali-kali. Setidaknya mereka menginginkan bukti bahwa pengamatan mengejutkan mereka itu benar.

Selama bertahun-tahun, tidak ada yang bisa membuat kemajuan apa pun. Kemudian pada workshop tahun 2019, Deconinck menghampiri Maspero dan timnya. Dia tahu mereka memiliki banyak pengalaman mempelajari matematika fenomena mirip gelombang dalam fisika kuantum. Mungkin mereka bisa menemukan cara untuk membuktikan bahwa pola-pola mencolok ini muncul dari persamaan Euler.

Kelompok Italia segera mulai bekerja. Mereka memulai dengan frekuensi terendah yang tampaknya menyebabkan gelombang mati. Pertama, mereka menerapkan teknik fisika untuk merepresentasikan setiap ketidakstabilan frekuensi rendah ini sebagai array, atau matriks, yang terdiri dari 16 angka. Angka-angka ini dikodekan bagaimana ketidakstabilan akan tumbuh dan mendistorsi gelombang Stokes seiring waktu. Para ahli matematika menyadari bahwa jika salah satu bilangan dalam matriks selalu nol, ketidakstabilan tidak akan bertambah, dan gelombang akan terus berlanjut. Jika angkanya positif, ketidakstabilan akan bertambah dan akhirnya menghancurkan gelombang tersebut.

Untuk menunjukkan bahwa angka ini positif untuk gelombang ketidakstabilan pertama, para ahli matematika harus menghitung jumlah yang sangat besar. Butuh 45 halaman dan hampir satu tahun kerja untuk menyelesaikannya. Begitu mereka melakukannya, mereka mengalihkan perhatian mereka ke gangguan pembunuh gelombang berfrekuensi tinggi yang tak terhingga banyaknya—isolasi tersebut.

Pertama, mereka menemukan rumus umum—penjumlahan rumit lainnya—yang akan memberi mereka jumlah yang dibutuhkan untuk setiap isola. Kemudian mereka menggunakan program komputer untuk menyelesaikan rumus 21 isole pertama. (Setelah itu, penghitungan menjadi terlalu rumit untuk ditangani oleh komputer.) Semua angkanya positif, seperti yang diharapkan—dan angka-angka tersebut juga tampaknya mengikuti pola sederhana yang menyiratkan bahwa angka-angka tersebut juga akan positif untuk semua isole lainnya.

Namun pola bukanlah bukti, dan Maspero serta rekan-rekannya tidak yakin bagaimana melanjutkannya. Jadi mereka meminta bantuan komunitas global pakar komputer.

Tanggul Jebol

Maspero telah menjelajahi literatur matematika untuk mencari apa pun yang dapat membantunya. Masalahnya, dia memutuskan, adalah dia perlu menyederhanakan perhitungan yang harus dia buat. Dia menemukan sebuah buku di mana Doron Zeilbergerseorang ahli matematika di Universitas Rutgers, menguraikan pendekatan algoritmik untuk melakukan perhitungan aljabar yang sulit di komputer. Karena tidak dapat menyesuaikannya dengan kasusnya, Maspero langsung menghubungi Zeilberger.

“Kami baru-baru ini menghadapi masalah kombinatorial tertentu yang tidak dapat kami pecahkan,” emailnya kepada Zeilberger dimulai. “Kami ingin tahu apakah Anda dapat membantu kami.”

Zeilberger tertarik. “Pertanyaannya persis seperti yang saya inginkan,” katanya. Dengan beberapa upaya, dia bisa membuat komputernya, yang dia sebut Shalosh B. Ekhad (dan yang muncul sebagai rekan penulis di semua makalahnya), menghitung jumlah untuk 2.000 isole pertama, memverifikasi bahwa hasilnya semuanya positif dan sesuai dengan pola yang diidentifikasi oleh tim Italia. Kemudian dia meminta jaringan penggemar aljabar komputer untuk membantu, menawarkan untuk memberikan sumbangan $100 kepada Ensiklopedia Barisan Integer On-Line atas nama siapa pun yang dapat memastikan bahwa pola tersebut bertahan selamanya.

Pada bulan Februari 2024, Zeilberger membayar. Setelah pertukaran email yang panjang dengan dua orang yang sering menjadi kolaboratornya, dia kembali dengan bukti lengkap bahwa jumlahnya tidak akan pernah sama dengan nol.

Deconinck dan Oliveras benar: isolasi mereka memang nyata. Hasilnya berarti ahli matematika sekarang akhirnya tahu persisnya jenis gangguan apa yang akan mematikan gelombang Stokes dan mana yang tidak—sesuatu yang mereka harap dapat pahami selama dua abad.

“Ini seperti, sial, terima kasih,” kata Oliveras.

Hal ini juga membuat para ahli matematika mempunyai lebih banyak pekerjaan yang harus dilakukan. Mengapa gelombang hidup dan mati dalam pola bolak-balik ini? “Oke, isolasi itu nyata,” katanya. “Sekarang kita harus memperhatikan mereka.”

Hasil penelitian ini hanyalah yang terbaru dari serentetan makalah baru-baru ini yang bertujuan untuk menjelaskan matematika gelombang air. Matematikawan menggabungkan kemajuan dalam teknik komputasi dan teoritis untuk lebih memahami solusi persamaan Euler, memungkinkan mereka membuktikan lebih banyak dugaan tentang perilaku gelombang. Maspero dan rekan-rekannya berharap metode mereka kini dapat digunakan untuk memecahkan masalah lain di bidang ini.

Mengenai gelombang yang tertiup bora di luar jendela kantor Maspero, dan akhirnya tenggelam ke dalam perairan datar—saat ini, dia tidak dapat mengatakan dengan pasti apakah perhitungan timnya dapat menjelaskan fenomena yang sebenarnya ini. “Saya tidak tahu apakah ada hubungannya,” katanya. “Tetapi saya suka berpikir bahwa ini adalah ketidakstabilan yang sama.”

Cerita asli dicetak ulang dengan izin dari Majalah Kuantasebuah publikasi independen secara editorial dari Yayasan Simons yang misinya adalah untuk meningkatkan pemahaman masyarakat terhadap sains dengan meliput perkembangan dan tren penelitian di bidang matematika serta ilmu fisika dan kehidupan.