Lihatlah Manifold, Konsep yang Mengubah Cara Matematikawan Melihat Ruang

Versi aslinya dari cerita ini muncul di Majalah Kuanta.

Berdiri di tengah lapangan, kita bisa dengan mudah lupa bahwa kita hidup di planet yang bulat. Kita sangat kecil jika dibandingkan dengan Bumi sehingga dari sudut pandang kita, bumi terlihat datar.

Dunia ini penuh dengan bentuk-bentuk seperti itu—yang terlihat datar bagi semut yang hidup di dalamnya, meskipun mereka mungkin memiliki struktur global yang lebih rumit. Matematikawan menyebut bentuk-bentuk ini sebagai manifold. Diperkenalkan oleh Bernhard Riemann pada pertengahan abad ke-19, manifold mengubah cara berpikir para ahli matematika tentang ruang. Itu bukan lagi sekadar pengaturan fisik untuk objek matematika lainnya, melainkan sebuah objek abstrak dan terdefinisi dengan baik yang layak untuk dipelajari.

Perspektif baru ini memungkinkan para ahli matematika untuk mengeksplorasi ruang berdimensi lebih tinggi secara cermat—yang mengarah pada lahirnya topologi modern, sebuah bidang yang didedikasikan untuk mempelajari ruang matematika seperti manifold. Manifold juga menempati peran sentral dalam bidang-bidang seperti geometri, sistem dinamik, analisis data, dan fisika.

Saat ini, mereka memberi para matematikawan kosakata umum untuk memecahkan segala macam masalah. Mereka sama mendasarnya dengan matematika seperti halnya alfabet bagi bahasa. “Jika saya tahu bahasa Sirilik, apakah saya tahu bahasa Rusia?” dikatakan Fabrizio Bianchiseorang ahli matematika di Universitas Pisa di Italia. “Tidak. Tapi cobalah belajar bahasa Rusia tanpa mempelajari Sirilik.”

Jadi apa itu manifold, dan kosakata apa saja yang disediakannya?

Ide Mulai Terbentuk

Selama ribuan tahun, geometri berarti studi tentang benda-benda di ruang Euclidean, ruang datar yang kita lihat di sekitar kita. “Sampai tahun 1800-an, ‘ruang’ berarti ‘ruang fisik’,” kata José Ferreirós, seorang filsuf sains di Universitas Seville di Spanyol—analoginya dengan garis dalam satu dimensi, atau bidang datar dalam dua dimensi.

Dalam ruang Euclidean, segala sesuatunya berperilaku seperti yang diharapkan: Jarak terpendek antara dua titik adalah garis lurus. Besar sudut suatu segitiga berjumlah 180 derajat. Alat kalkulus dapat diandalkan dan terdefinisi dengan baik.

Namun pada awal abad ke-19, beberapa ahli matematika sudah mulai mengeksplorasi jenis ruang geometris lainnya—ruang yang tidak datar melainkan melengkung seperti bola atau pelana. Di ruang-ruang ini, garis-garis sejajar pada akhirnya mungkin berpotongan. Sudut-sudut suatu segitiga bisa berjumlah lebih atau kurang dari 180 derajat. Dan melakukan kalkulus bisa menjadi jauh lebih mudah.

Komunitas matematika berjuang untuk menerima (atau bahkan memahami) perubahan dalam pemikiran geometris ini.

Namun beberapa matematikawan ingin mendorong gagasan ini lebih jauh lagi. Salah satunya adalah Bernhard Riemann, seorang pemuda pemalu yang awalnya berencana belajar teologi—ayahnya adalah seorang pendeta—sebelum tertarik pada matematika. Pada tahun 1849, ia memutuskan untuk mengejar gelar doktornya di bawah bimbingan Carl Friedrich Gauss, yang telah mempelajari sifat intrinsik kurva dan permukaan, terlepas dari ruang di sekitarnya.

Pada tahun 1854, Riemann diminta menyampaikan ceramah untuk mendapatkan posisi mengajar di Universitas Göttingen. Topik yang ditugaskan padanya: dasar-dasar geometri. Pada tanggal 10 Juni, meskipun takut berbicara di depan umum, dia menjelaskan sebuah teori baru di mana dia menggeneralisasi gagasan Gauss tentang geometri permukaan ke sejumlah dimensi yang berubah-ubah (dan bahkan hingga dimensi tak terhingga).

Gauss langsung terkesan dengan ceramahnya, yang tidak hanya melibatkan matematika tetapi juga filsafat dan fisika. Namun sebagian besar ahli matematika menganggap gagasan Riemann terlalu kabur dan abstrak untuk bisa berguna. “Banyak ilmuwan dan filsuf berkata, ‘Ini tidak masuk akal,’” kata Ferreirós. Oleh karena itu, selama beberapa dekade, pekerjaan tersebut diabaikan. Ceramah Riemann baru muncul di media cetak pada tahun 1868, dua tahun setelah kematiannya.

Namun pada akhir abad ke-19, pakar matematika seperti Henri Poincaré telah menyadari pentingnya gagasan Riemann. Dan pada tahun 1915, Albert Einstein menggunakannya dalam teori relativitas umumnya, membawanya keluar dari dunia abstraksi filosofis dan masuk ke dunia nyata. Pada pertengahan abad ke-20, mereka telah menjadi bahan pokok matematika.

Riemann telah memperkenalkan konsep yang dapat mencakup semua kemungkinan geometri, dalam sejumlah dimensi. Sebuah konsep yang akan mengubah cara ahli matematika memandang ruang.

Beraneka ragam.

Wilayah yang Dipetakan

Istilah “manifold” berasal dari Riemann Keberagamanyang merupakan bahasa Jerman untuk “variasi” atau “keberagaman”.

Manifold adalah ruang yang terlihat Euclidean ketika Anda memperbesar salah satu titiknya. Misalnya, lingkaran adalah manifold satu dimensi. Perbesar di mana saja, dan itu akan terlihat seperti garis lurus. Semut yang hidup di dalam lingkaran tidak akan pernah mengetahui bahwa lingkaran itu sebenarnya bulat. Namun perbesar gambar delapan, tepat pada titik perpotongannya, dan gambar tersebut tidak akan pernah terlihat seperti garis lurus. Semut akan menyadari pada titik persimpangan tersebut bahwa ia tidak berada dalam ruang Euclidean. Oleh karena itu, angka delapan bukanlah suatu manifold.

Demikian pula dalam dua dimensi, permukaan bumi bermacam-macam; perbesar cukup jauh di bagian mana pun, dan itu akan terlihat seperti bidang 2D datar. Namun permukaan kerucut ganda – suatu bentuk yang terdiri dari dua kerucut yang dihubungkan di ujungnya – bukanlah suatu manifold.

Manifold mengatasi masalah yang seharusnya dihadapi oleh ahli matematika: Properti suatu bentuk dapat berubah tergantung pada sifat dan dimensi ruang tempat ia berada (dan bagaimana ia berada di ruang tersebut). Misalnya, letakkan seutas tali di atas meja dan sambungkan ujung-ujungnya tanpa mengangkatnya. Anda akan mendapatkan lingkaran sederhana. Sekarang pegang talinya di udara dan ikat ujungnya menjadi satu. Dengan mempertimbangkan tali dalam tiga dimensi, Anda dapat melewatkannya ke atas dan ke bawah sebelum Anda menyambungkan ujung-ujungnya, sehingga menciptakan segala macam simpul di luar lingkaran sederhana. Mereka semua mewakili manifold satu dimensi yang sama—string yang dilingkarkan—tetapi mereka memiliki sifat yang berbeda jika dipertimbangkan dalam dua versus tiga dimensi.

Matematikawan menghindari ambiguitas tersebut dengan berfokus pada sifat intrinsik manifold. Sifat penentu manifold—yang pada titik mana pun, terlihat seperti Euclidean—sangat membantu dalam hal ini. Karena kita bisa memikirkan bagian kecil mana pun dari manifold dalam kaitannya dengan ruang Euclidean, matematikawan dapat menggunakan teknik kalkulus tradisional untuk, misalnya, menghitung luas atau volumenya, atau mendeskripsikan pergerakan di atasnya.

Untuk melakukan hal ini, ahli matematika membagi manifold tertentu menjadi beberapa bagian yang tumpang tindih dan mewakili masing-masing bagian dengan “bagan”—sekumpulan sejumlah koordinat (sama dengan dimensi manifold) yang memberi tahu Anda di mana Anda berada pada manifold tersebut. Yang terpenting, Anda juga perlu menuliskan aturan yang menjelaskan bagaimana koordinat grafik yang tumpang tindih berhubungan satu sama lain. Kumpulan semua bagan ini disebut atlas.

Anda kemudian dapat menggunakan atlas ini—yang bagannya menerjemahkan wilayah yang lebih kecil dari manifold yang berpotensi rumit ke dalam ruang Euclidean yang sudah dikenal—untuk mengukur dan menjelajahi manifold satu per satu. Jika Anda ingin memahami bagaimana suatu fungsi berperilaku pada suatu manifold, atau memahami struktur globalnya, Anda dapat memecah soal menjadi beberapa bagian, menyelesaikan setiap bagian pada bagan yang berbeda, dalam ruang Euclidean, lalu menyatukan hasil dari semua bagan di atlas untuk mendapatkan jawaban lengkap yang Anda cari.

Saat ini, pendekatan ini ada di mana-mana dalam matematika dan fisika.

Berbagai Kegunaan

Manifold sangat penting untuk pemahaman kita tentang alam semesta. Dalam teori relativitas umumnya, Einstein mendeskripsikan ruang-waktu sebagai manifold empat dimensi, dan gravitasi sebagai kelengkungan manifold tersebut. Dan ruang tiga dimensi yang kita lihat di sekitar kita juga bermacam-macam — ruang yang, seperti halnya berbagai macam, tampak seperti Euclidean bagi kita yang hidup di dalamnya, meskipun kita berada di dalamnya. masih mencoba mencari tahu bentuknya yang global.

Bahkan dalam kasus di mana manifold tampaknya tidak ada, ahli matematika dan fisikawan mencoba menulis ulang permasalahan mereka dalam bahasa manifold untuk memanfaatkan sifat-sifatnya yang bermanfaat. “Banyak ilmu fisika yang bermuara pada pemahaman geometri,” katanya Jonathan Sorceseorang ahli fisika teoretis di Universitas Princeton. “Dan seringkali dengan cara yang mengejutkan.”

Perhatikan pendulum ganda, yang terdiri dari satu pendulum yang digantung di ujung pendulum lainnya. Perubahan kecil pada kondisi awal pendulum ganda menyebabkannya membuat lintasan yang sangat berbeda di ruang angkasa, sehingga perilakunya sulit diprediksi dan dipahami. Namun jika Anda merepresentasikan konfigurasi pendulum hanya dengan dua sudut (satu sudut menggambarkan posisi masing-masing lengannya), maka ruang dari semua konfigurasi yang mungkin terlihat seperti donat, atau torus—berjenis. Setiap titik pada torus ini mewakili satu kemungkinan keadaan pendulum; jalur pada torus mewakili lintasan pendulum yang mungkin diikuti melalui ruang. Hal ini memungkinkan peneliti untuk menerjemahkan pertanyaan fisik mereka tentang pendulum ke dalam pertanyaan geometris, menjadikannya lebih intuitif dan lebih mudah untuk diselesaikan. Ini juga cara mereka mempelajari pergerakan cairan, robot, partikel kuantum, dan banyak lagi.

Demikian pula, matematikawan sering kali memandang solusi persamaan aljabar yang rumit sebagai suatu manifold untuk lebih memahami sifat-sifatnya. Dan mereka menganalisis kumpulan data berdimensi tinggi—seperti yang merekam aktivitas ribuan neuron di otak—dengan melihat bagaimana titik data tersebut mungkin berada pada manifold dimensi yang lebih rendah.

Menanyakan bagaimana para ilmuwan menggunakan manifold sama dengan menanyakan bagaimana mereka menggunakan angka, kata Sorce. “Mereka adalah fondasi dari segalanya.”

Cerita asli dicetak ulang dengan izin dari Majalah Kuantasebuah publikasi independen secara editorial dari Yayasan Simons yang misinya adalah untuk meningkatkan pemahaman masyarakat terhadap sains dengan meliput perkembangan dan tren penelitian di bidang matematika serta ilmu fisika dan kehidupan.