‘Kelompok’ Mendasari Matematika Modern. Inilah Cara Kerjanya

Versi aslinya dari cerita ini muncul di Majalah Kuanta.

Matematika dimulai dengan angka—jelas, konkrit, intuitif. Namun, selama dua abad terakhir, hal ini telah menjadi usaha yang jauh lebih abstrak. Salah satu langkah besar pertama dalam upaya ini diambil pada akhir abad ke-18 dan awal abad ke-19. Ini melibatkan bidang yang disebut teori grup, dan mengubah matematika—teoretis dan terapan—seperti yang kita kenal.

Grup menggeneralisasi sifat-sifat penting dari bilangan bulat. Mereka telah mentransformasi geometri, aljabar, dan analisis, studi matematis tentang fungsi yang berubah dengan lancar. Mereka sudah terbiasa mengenkripsi pesan Dan mempelajari bentuk-bentuk virus. Fisikawan bergantung pada mereka untuk menyatukan kekuatan fundamental alam: Pada energi tinggi, teori grup dapat digunakan untuk menunjukkan bahwa elektromagnetisme dan gaya yang menyatukan inti atom serta menyebabkan radioaktivitas merupakan manifestasi dari satu gaya dasar.

Istilah “grup” dalam konteks matematika diciptakan pada tahun 1830 oleh Évariste Galois, seorang anak ajaib Perancis, yang saat itu baru berusia 18 tahun. (Dua tahun kemudian, dia akan terbunuh dalam sebuah duel, karena telah mengubah jalannya sejarah matematika.) Namun dia tidak menemukan kelompok sendirian. “Ini tidak seperti sekelompok matematikawan yang suatu hari berkumpul dan berkata, ‘Mari kita buat struktur abstrak hanya untuk bersenang-senang,’” kata Sarah Hart, ahli teori grup di Gresham College di London. “Secara bertahap, mungkin dalam kurun waktu 50 tahun pada abad ke-19, peraturan-peraturan tersebut merupakan peraturan yang tepat untuk disyaratkan. Mereka memberi Anda fleksibilitas dan keumuman yang paling besar, namun tetap memungkinkan Anda membuktikan sesuatu.”

Grup adalah sekumpulan, atau kumpulan objek, bersama dengan operasi yang mengambil dua objek dan mengeluarkan objek ketiga. Contoh paling sederhana adalah bilangan bulat dan operasi penjumlahan. Kelompok harus memenuhi empat aturan.

• Yang pertama disebut penutupan: Tambahkan dua bilangan bulat dan Anda akan mendapatkan bilangan bulat lainnya.
• Aturan kedua disebut asosiatif: Jika Anda menjumlahkan tiga angka, hasilnya tidak bergantung pada cara Anda mengelompokkannya. Anda bisa menambahkan 3 dan 4 untuk mendapatkan 7, lalu menambahkan 5 untuk mendapatkan 12. Atau Anda dapat menambahkan 3 ke jumlah 4 dan 5. Apa pun pilihannya, Anda akan tetap mendapatkan jawaban yang sama: 12 = (3 + 4) + 5 = 3 + (4 + 5).
• Aturan ketiga adalah suatu kelompok harus mengandung suatu unsur yang membiarkan unsur golongan lainnya tidak berubah, disebut unsur identitas. Angka nol adalah identitas penjumlahan, karena menambahkan nol pada suatu angka akan membuat angka tersebut tetap sama.
• Terakhir, setiap elemen grup harus memiliki invers—tambahkan sebuah elemen dan inversnya, dan Anda akan mendapatkan identitasnya. Dalam bilangan bulat, kebalikan suatu bilangan adalah negatifnya. Misalnya, 3 + (−3) = 0.

Untuk memahami pentingnya keempat sifat ini, ada baiknya jika kita mempertimbangkan kelalaian yang perlu diperhatikan. Saat menjumlahkan dua bilangan, Anda dapat mengubah urutannya tanpa memengaruhi hasilnya: 3 + 5 sama dengan 5 + 3. Sifat ini disebut komutatifitas. Namun tidak ada persyaratan bahwa grup harus bersifat komutatif. Dengan menjadikan properti ini opsional, matematikawan telah mampu mengeksplorasi beragam struktur.

Sebagai contoh grup nonkomutatif, perhatikan segitiga sama sisi dengan sudut berlabel. Jika Anda memutar segitiga sebanyak sepertiganya atau membaliknya sepanjang sumbu vertikal, satu-satunya hal yang akan berubah pada gambar adalah lokasi labelnya. Ada enam transformasi yang membiarkan bentuk tidak berubah, yang disebut simetri segitiga. Mereka membentuk kelompok yang disebut D₆. (Lebih umum lagi, D_2N adalah grup yang dibentuk oleh kesimetrian bangun datar beraturan dengan N sisi, jadi D₈ adalah kelompok simetri persegi.)

Untuk “menambahkan” dua simetri, lakukan saja satu demi satu. Anda akan segera menemukannya D₆ tidak komutatif: Membalik lalu memutar akan meninggalkan label di tempat yang berbeda dibandingkan jika Anda memutar lalu membalik.

D₆ adalah salah satu dari hanya dua kelompok yang mungkin dengan enam elemen. Untuk contoh grup enam elemen lainnya, ambil bilangan {0, 1, 2, 3, 4, 5} sebagai himpunannya. Untuk operasinya, tambahkan dua angka seperti biasa lalu bagi dengan 6, abaikan hasil bagi tetapi pertahankan sisanya. Jadi 3 dan 5 menghasilkan 2, karena 8 menyisakan 2 jika dibagi 6. Ini disebut penjumlahan modulo 6, dan grupnya disebut Z₆. Umumnya, Z_N adalah grup dengan N elemen yang diperoleh dari bilangan {0, 1, 2, 3, …, N − 1} bersama dengan modulo penjumlahan N. Berbeda dengan D₆, Z₆ bersifat komutatif karena 3 + 5 = 5 + 3, dan seterusnya.

Z₆ Dan D₆ mempunyai struktur yang berbeda. Tidak hanya yang satu bersifat komutatif dan yang lainnya tidak, tetapi Anda dapat menghasilkan elemen apa pun Z₆ menggunakan salah satu elemennya saja, yaitu angka 1: Mulailah dengan 1, lalu tambahkan terus 1. In D₆tidak ada elemen yang memiliki properti ini. Mencari tahu kemungkinan struktur kelompok telah menjadi salah satu proyek utama aljabar selama satu abad terakhir.

Untuk melakukan hal ini, matematikawan mencoba mengidentifikasi kelompok-kelompok kecil yang terdapat dalam suatu kelompok, yang disebut subkelompok. Ini harus mempertahankan operasi yang digunakan untuk grup penuh. Misalnya, bilangan bulat genap membentuk subgrup di dalam bilangan bulat. Bilangan bulat genap ditambah bilangan bulat genap selalu menghasilkan bilangan bulat genap lainnya. Sebaliknya, bilangan ganjil bukanlah subgrup, karena jika Anda menjumlahkan dua bilangan ganjil, Anda akan mendapatkan bilangan genap. Elemen identitas selalu membentuk subgrup dengan sendirinya, yang disebut subgrup sepele.

Mencari tahu subkelompok apa yang terdapat dalam suatu kelompok adalah salah satu cara untuk memahami strukturnya. Misalnya, subgrup dari Z₆ adalah {0}, {0, 2, 4} dan {0, 3}—subgrup sepele, kelipatan 2, dan kelipatan 3. Dalam grup D₆rotasi membentuk subgrup, tetapi refleksi tidak. Hal ini karena dua pemantulan yang dilakukan secara berurutan menghasilkan rotasi, bukan pemantulan, seperti halnya penjumlahan dua bilangan ganjil menghasilkan bilangan genap.

Jenis subgrup tertentu yang disebut subgrup “normal” sangat membantu ahli matematika. Dalam grup komutatif, semua subgrup adalah normal, tetapi hal ini tidak selalu berlaku secara umum. Subgrup ini mempertahankan beberapa sifat komutatifitas yang paling berguna, tanpa memaksa seluruh grup menjadi komutatif. Jika daftar subgrup normal dapat diidentifikasi, grup dapat dipecah menjadi komponen-komponen seperti halnya bilangan bulat dapat dipecah menjadi produk bilangan prima. Grup yang tidak memiliki subgrup normal disebut grup sederhana dan tidak dapat dipecah lagi, seperti halnya bilangan prima yang tidak dapat difaktorkan. Grup Z_N sederhana hanya ketika N adalah bilangan prima—kelipatan 2 dan 3, misalnya, membentuk subgrup normal Z₆.

Namun, kelompok sederhana tidak selalu sesederhana itu. “Ini adalah istilah yang salah dalam matematika,” kata Hart. Pada tahun 1892, ahli matematika Otto Hölder mengusulkan agar para peneliti berkumpul daftar lengkap semua kemungkinan grup sederhana berhingga. (Kelompok tak terhingga seperti bilangan bulat membentuk bidang studinya sendiri.)

Ternyata hampir semua grup sederhana berhingga terlihat seperti itu Z_N (untuk nilai prima dari N) atau termasuk dalam salah satu dari dua keluarga lainnya. Dan terdapat 26 pengecualian, yang disebut kelompok sporadis. Menjepitnya, dan menunjukkan bahwa tidak ada kemungkinan lain, membutuhkan waktu lebih dari satu abad.

Kelompok sporadis terbesar, yang disebut kelompok monster, ditemukan pada tahun 1973. Memang benar lebih dari 8×10⁵⁴ elemen dan mewakili rotasi geometris dalam ruang dengan hampir 200.000 dimensi. “Sungguh gila kalau benda ini bisa ditemukan oleh manusia,” kata Hart.

Pada tahun 1980-an, sebagian besar pekerjaan yang diserukan oleh Hölder tampaknya telah selesai, namun sulit untuk menunjukkan bahwa tidak ada lagi kelompok sporadis yang masih bertahan di sana. Klasifikasi ini semakin tertunda ketika, pada tahun 1989, komunitas menemukan kesenjangan dalam satu bukti setebal 800 halaman dari awal tahun 1980an. Sebuah bukti baru akhirnya diterbitkan pada tahun 2004, menyelesaikan klasifikasi.

Banyak struktur dalam matematika modern—cincin, bidang, dan ruang vektor, misalnya—terbuat ketika lebih banyak struktur ditambahkan ke grup. Di ring, Anda dapat mengalikan serta menambah dan mengurangi; di bidang, Anda juga dapat membagi. Namun di balik semua struktur yang lebih rumit ini terdapat gagasan kelompok orisinal yang sama, dengan empat aksiomanya. “Kekayaan yang mungkin terjadi dalam struktur ini, dengan empat aturan ini, sungguh menakjubkan,” kata Hart.

Cerita asli dicetak ulang dengan izin dari Majalah Kuantasebuah publikasi independen secara editorial dari Yayasan Simons yang misinya adalah untuk meningkatkan pemahaman masyarakat terhadap sains dengan meliput perkembangan dan tren penelitian di bidang matematika serta ilmu fisika dan kehidupan.