Fungsi gergaji yang melanggar kalkulus

Versi aslinya dari cerita ini muncul di Berapa banyak majalah.

Kalkulus adalah alat matematika yang kuat. Tetapi selama ratusan tahun setelah penemuannya di abad ke -17, ia berdiri di atas fondasi yang goyah. Konsep intinya berakar pada intuisi dan argumen informal, bukan definisi formal yang tepat.

Dua aliran pemikiran muncul sebagai tanggapan, menurut Michael Baranyseorang sejarawan matematika dan sains di University of Edinburgh. Matematikawan Prancis pada umumnya dan konten besar untuk terus berjalan. Mereka lebih peduli dengan menerapkan kalkulus pada masalah dalam fisika – menggunakannya untuk menghitung lintasan planet, misalnya, atau untuk mempelajari perilaku arus listrik. Tetapi pada abad ke -19, matematikawan Jerman telah mulai menghancurkan segalanya. Mereka berangkat untuk menemukan contoh tandingan yang akan merusak asumsi yang telah lama dipegang, dan akhirnya menggunakan contoh tandingan tersebut untuk menempatkan kalkulus pada pijakan yang lebih stabil dan tahan lama.

Salah satu ahli matematika ini adalah Karl Weierstrass. Meskipun ia menunjukkan bakat awal untuk matematika, ayahnya menekannya untuk belajar keuangan dan administrasi publik, dengan mata untuk bergabung dengan Layanan Sipil Prusia. Bosan dengan kursus universitasnya, Weierstrass dikatakan telah menghabiskan sebagian besar waktunya untuk minum dan pagar; Pada akhir 1830 -an, setelah gagal mendapatkan gelarnya, ia menjadi guru sekolah menengah, memberikan pelajaran dalam segala hal mulai dari matematika dan fisika hingga tulisan tangan dan senam.

Weierstrass tidak memulai karirnya sebagai ahli matematika profesional sampai dia hampir berusia 40 tahun. Tapi dia akan terus mengubah lapangan dengan memperkenalkan monster matematika.

Pilar kalkulus

Pada tahun 1872, Weierstrass menerbitkan fungsi yang mengancam segala yang menurut matematikawan mereka mengerti tentang kalkulus. Dia bertemu dengan ketidakpedulian, kemarahan, dan ketakutan, terutama dari raksasa matematika dari sekolah pemikiran Prancis. Henri Poincaré mengutuk fungsi Weierstrass sebagai “kemarahan terhadap akal sehat.” Charles Hermite menyebutnya sebagai “kejahatan yang menyedihkan.”

Untuk memahami mengapa hasil Weierstrass begitu mengerikan, membantu untuk terlebih dahulu memahami dua konsep paling mendasar dalam kalkulus: kontinuitas dan diferensiasi.

Fungsi kontinu persis seperti apa rasanya – fungsi yang tidak memiliki celah atau lompatan. Anda dapat melacak jalur dari titik mana pun pada fungsi seperti itu ke yang lain tanpa mengangkat pensil Anda.

Kalkulus sebagian besar tentang menentukan seberapa cepat fungsi kontinu tersebut berubah. Ini bekerja, secara longgar, dengan mendekati fungsi yang diberikan dengan garis lurus dan nonvertikal.

Pada titik tertentu pada kurva ini, Anda dapat menggambar garis “singgung” – garis yang paling mendekati kurva di dekat titik itu. Kemiringan, atau kecuraman, dari garis garis singgung mengukur seberapa cepat fungsi berubah pada titik itu. Anda dapat mendefinisikan fungsi lain, yang disebut turunan, yang menyediakan kemiringan garis garis singgung pada setiap titik pada fungsi asli Anda. Jika turunan ada di setiap titik, maka fungsi asli dikatakan dapat dibedakan.

Fungsi yang mengandung diskontinuitas tidak pernah dapat dibedakan: Anda tidak akan dapat menggambar garis singgung yang mendekati celah, yang berarti turunan Anda tidak akan ada di sana. Tetapi bahkan fungsi berkelanjutan tidak selalu dapat dibedakan di setiap titik. Pertimbangkan fungsi “nilai absolut”, yang terlihat seperti ini:

Di sisi kiri kurva berbentuk V ini, garis garis singgung kemiringan ke bawah. Di sisi kanan, mereka miring ke atas. Di titik bawah, kemiringan tiba -tiba mengubah arah. Turunan fungsi tidak ada pada saat itu, meskipun didefinisikan dengan baik di tempat lain.

Ini tidak mengganggu sebagian besar ahli matematika abad ke-19. Mereka melihatnya sebagai fenomena yang terisolasi: selama fungsi Anda terus menerus, mereka mengklaim, hanya ada banyak poin di mana turunannya tidak ditentukan. Di semua titik lainnya, fungsinya harus tetap bagus dan halus. Dengan kata lain, suatu fungsi hanya bisa zig dan zag begitu banyak.

Faktanya, pada tahun 1806, seorang ahli matematika dan fisikawan Prancis terkemuka bernama André-Marie Ampère mengklaim bahwa ia telah membuktikan hal ini. Selama beberapa dekade, alasannya tidak tertandingi. Lalu datanglah Weierstrass.

Monster Weeprass

Weierstrass menemukan fungsi yang, menurut bukti Ampère, seharusnya tidak mungkin: itu terus menerus di mana -mana namun tidak dapat dibedakan.

Dia membangunnya dengan menambahkan bersama -sama banyak fungsi “cosinus” wavelike. Semakin banyak istilah yang dia tambahkan, semakin banyak fungsinya zig -zag – sampai pada akhirnya, itu berubah arah secara tiba -tiba di setiap titik, menyerupai sisir gergaji yang bergerigi.

Banyak ahli matematika menolak fungsi tersebut. Itu adalah anomali, kata mereka – karya seorang pedant, secara matematis tidak berguna. Mereka bahkan tidak bisa memvisualisasikannya. Pada awalnya, ketika Anda mencoba memplot grafik fungsi Weierstrass, itu terlihat halus di daerah tertentu. Hanya dengan memperbesar Anda akan melihat bahwa daerah -daerah itu bergerigi juga, dan bahwa mereka akan terus mendapatkan lebih banyak bergerigi dan berperilaku buruk (apa yang oleh matematikawan disebut “patologis”) dengan setiap perbesaran tambahan.

Tetapi Weierstrass telah membuktikan tanpa keraguan bahwa, meskipun fungsinya tidak memiliki diskontinuitas, itu tidak pernah bisa dibedakan. Untuk menunjukkan ini, ia pertama-tama meninjau kembali definisi “kontinuitas” dan “diferensiasi” yang telah dirumuskan beberapa dekade sebelumnya oleh ahli matematika Augustin-Louis Cauchy dan Bernard Bolzano. Definisi-definisi ini bergantung pada deskripsi yang tidak jelas, bahasa sederhana dan notasi yang tidak konsisten, membuatnya mudah disalahartikan.

Jadi Weierstrass menulis ulang mereka, menggunakan bahasa yang tepat dan rumus matematika konkret. ;

Dia kemudian dapat menunjukkan bahwa fungsinya memenuhi definisi kesinambungannya yang lebih ketat. Pada saat yang sama, ia juga dapat membuktikan bahwa di setiap titik, definisi formal barunya tentang turunan fungsi tidak pernah memiliki nilai terbatas; Itu selalu “meledak” menjadi tak terbatas. Dengan kata lain, kontinuitas tidak menyiratkan perbedaan. Fungsinya sama mengerikannya dengan ahli matematika.

Bukti menunjukkan bahwa kalkulus tidak bisa lagi bergantung pada intuisi geometris, seperti yang dilakukan penemunya. Ini mengantarkan standar baru untuk subjek, yang berakar pada analisis persamaan yang cermat. Matematikawan dipaksa untuk mengikuti jejak Weierstrass, lebih lanjut mengasah definisi fungsi mereka, pemahaman mereka tentang hubungan antara kontinuitas dan diferensial, dan metode mereka untuk menghitung turunan dan integral. Pekerjaan ini untuk menstandarkan kalkulus telah tumbuh ke lapangan yang dikenal sebagai analisis; Weierstrass dianggap sebagai salah satu pendirinya.

Tetapi warisan fungsinya meluas jauh melampaui dasar kalkulus dan analisis. Ini mengungkapkan bahwa matematika penuh dengan monster: fungsi yang terlihat mustahil, objek aneh (itu adalah salah satu contoh paling awal dari fraktal), perilaku liar. “Ada seluruh alam semesta kemungkinan, dan fungsi Weierstrass seharusnya membuka mata Anda untuk itu,” kata Philip Gressman dari University of Pennsylvania.

Ternyata juga memiliki banyak aplikasi praktis. Pada awal abad ke -20, fisikawan ingin mempelajari gerakan Brown, gerakan acak partikel dalam cairan atau gas. Karena gerakan ini kontinu tetapi tidak halus – ditandai oleh fluktuasi yang cepat dan tak terbatas – fungsi seperti Weierstrass ‘sempurna untuk memodelkannya. Demikian pula, fungsi -fungsi seperti itu telah digunakan untuk memodelkan ketidakpastian dalam cara orang membuat keputusan dan mengambil risiko, serta perilaku rumit pasar keuangan.

Sama seperti Weierstrass sendiri, konsekuensi dari fungsinya kadang -kadang terlambat mekar. Tapi mereka terus membentuk matematika dan aplikasinya hari ini.

Cerita asli dicetak ulang dengan izin dari Berapa banyak majalah, publikasi editorial independen dari Yayasan Simons yang misinya adalah untuk meningkatkan pemahaman publik tentang sains dengan meliput perkembangan penelitian dan tren matematika dan ilmu fisik dan kehidupan.