Bukti baru memperluas batas dari apa yang tidak dapat diketahui

Versi aslinya dari cerita ini muncul di Berapa banyak majalah.

Dunia matematika penuh dengan sudut yang tidak terjangkau, di mana masalah yang tidak dapat diselesaikan hidup. Sekarang, yang lain telah diekspos.

Pada tahun 1900, ahli matematika terkemuka David Hilbert mengumumkan daftar 23 masalah utama untuk memandu abad berikutnya dari penelitian matematika. Masalahnya tidak hanya memberikan peta jalan untuk lapangan tetapi juga mencerminkan visi yang lebih ambisius – untuk membangun fondasi yang kuat dari mana semua kebenaran matematika dapat diturunkan.

Bagian penting dari visi ini adalah bahwa matematika harus “lengkap.” Artinya, semua pernyataannya harus terbukti benar atau salah.

Pada 1930 -an, Kurt Gödel menunjukkan bahwa ini tidak mungkin: dalam sistem matematika apa pun, ada pernyataan yang tidak dapat dibuktikan atau dibantah. Beberapa tahun kemudian, Alan Turing dan yang lainnya dibangun di atas karyanya, menunjukkan bahwa matematika penuh dengan pernyataan “tidak dapat dipahami” – masalah yang tidak dapat diselesaikan dengan algoritma komputer apa pun.

Hasil ini menunjukkan bahwa ada batasan mendasar untuk apa yang mampu dan perhitungan bukti. Beberapa matematika tidak pernah bisa diketahui.

Mimpi Hilbert sudah mati. Tapi itu hidup dalam fragmen. Banyak pertanyaan dari daftar pergantian abadnya masih membangkitkan visinya, memungkinkan gagasan matematika lengkap untuk bertahan hidup dalam konteks yang lebih sempit.

Kepala di antara mereka adalah masalah ke -10nya. Ini menyangkut persamaan diophantine: polinomial dengan koefisien integer, seperti X² + y² = 5. Persamaan yang akrab ini adalah salah satu objek studi paling sentral dalam matematika. Selama ribuan tahun, ahli matematika telah mencari solusi integer kepada mereka. Dalam contoh ini, misalnya, satu solusi adalah X = 1, y = 2 (sejak 1² + 2² = 5). Yang lain adalah X = 2, y = −1.

Persamaan diofantin lainnya, seperti X² + y² = 3, jangan punya solusi integer. Masalah ke -10 Hilbert bertanya apakah selalu mungkin untuk mengetahui apakah persamaan diofantin yang diberikan memiliki solusi integer. Apakah ada algoritma untuk menentukan ini untuk setiap persamaan, atau apakah masalahnya tidak dapat diputuskan? Mungkin tidak ada harapan untuk pendekatan yang lengkap dan sistematis untuk semua matematika – atau bahkan semua 23 masalah Hilbert – tetapi orang mungkin masih ada ketika datang ke persamaan diofantin, membentuk mikrokosmos dari program aslinya. “Masalah ini adalah versi yang sangat alami dari mimpi itu,” kata Peter Koymans Universitas Utrecht.

Pada tahun 1970, seorang ahli matematika Rusia bernama Yuri Matiyasevich menghancurkan mimpi ini. Dia menunjukkan bahwa tidak ada algoritma umum yang dapat menentukan apakah persamaan diofantin yang diberikan memiliki solusi integer – bahwa ke -10 Hilbert adalah masalah yang tidak dapat diputuskan. Anda mungkin dapat menghasilkan algoritma yang dapat menilai sebagian besar persamaan, tetapi itu tidak akan berhasil untuk setiap orang.

Bahkan dalam jenis matematika yang paling mudah ini, ketidaktahuan mengintai.

Matematikawan ingin menguji jangkauan kesimpulan Matiyasevich. Katakanlah Anda membiarkan persamaan diofantin Anda memiliki solusi yang kompleks (angka yang dapat ditulis dengan bagian -bagian nyata dan imajiner, dan itu tidak terbatas pada bilangan bulat). Dalam hal ini, setiap persamaan diofantin memiliki solusi, dan jawaban untuk masalah ke -10 Hilbert adalah ya. Tetapi ada berbagai macam persamaan diophantine antara yang dengan solusi yang harus bilangan bulat dan yang dengan solusi yang bisa rumit.

“Ini tidak dapat diselesaikan untuk bilangan bulat, lalu ketika Anda beralih ke sistem angka yang jauh lebih besar, Anda mendapatkan solvabilitas secara tiba -tiba,” kata Barry Mazur Universitas Harvard. “Di mana cutoffnya?”

Dalam 50 tahun sejak masalah ke -10 Hilbert diselesaikan, ahli matematika telah mencari cutoff ini. Sekarang, Koymans dan kolaborator lamanya, Carlo Pagano Universitas Concordia di Montreal – serta tim peneliti lain yang bekerja secara mandiri – telah mengambil langkah besar menuju tujuan itu. Kedua kelompok telah membuktikan itu, untuk kumpulan pengaturan yang luas dan penting Di luar bilangan bulat, ada Demikian juga tidak ada algoritma umum Untuk menentukan apakah ada persamaan diophantine yang diberikan memiliki larutan. Pekerjaan tidak hanya memungkinkan ahli matematika untuk mendapatkan pandangan yang lebih tepat tentang apa yang mereka bisa dan tidak dapat ketahui tetapi memberi mereka tingkat kontrol yang sama sekali baru atas salah satu objek paling sentral dalam matematika.

Memanjang dari bilangan bulat

Bukti baru yang berfokus pada perpanjangan alami dari masalah ke -10 Hilbert. Perpanjangan ini berkaitan dengan persamaan diophantine yang solusinya termasuk sistem angka yang merupakan kerabat dekat bilangan bulat.

Jika Anda mulai dengan angka 1 dan −1, Anda dapat menambahkannya dalam kombinasi yang berbeda untuk mendapatkan setiap bilangan bulat lainnya. Tetapi katakanlah Anda mulai dengan set angka terbatas yang berbeda – seperti 1, −1 dan √2. Anda dapat menambahkan angka -angka itu dalam kombinasi yang berbeda untuk mendapatkan sistem angka baru, yang disebut cincin bilangan bulat (dinamai demikian meskipun cincin itu tidak perlu hanya berisi bilangan bulat). Cincin bilangan bulat lainnya dapat dibangun dari set angka yang mencakup, katakanlah, akar kuadrat −1 (angka imajiner yang disebut matematikawan Saya), atau akar kubus 2. Apakah ada algoritma yang selalu dapat menentukan apakah persamaan diophantine yang diberikan memiliki solusi yang termasuk dalam salah satu cincin bilangan bulat ini?

Matematikawan mencurigai bahwa, untuk setiap cincin bilangan bulat – yaitu, sangat banyak sistem angka – masalahnya masih tidak dapat diputuskan. Ini akan memperluas kesimpulan jauh di luar ruang lingkup awal yang berfokus pada integer dari masalah ke-10 Hilbert.

Untuk membuktikan hal ini, mereka berharap untuk mengikuti jejak bukti masalah asli itu – yang hanya melibatkan solusi integer.

Secara umum, bukti yang tidak dapat diduga – tahan lama yang menentukan apakah ada algoritma umum yang dapat menjawab pertanyaan yang diberikan – mengikuti resep yang sama: mereka menunjukkan bahwa masalah yang menarik setara dengan masalah yang tidak dapat dipahami yang terkenal dalam ilmu komputer yang disebut masalah penghentian. Masalah penghentian menanyakan apakah perangkat komputasi ideal yang disebut mesin Turing, ketika diberi makan input yang diberikan, akan berjalan selamanya atau akhirnya berhenti. Diketahui bahwa tidak ada algoritma yang dapat menjawab ini untuk setiap mesin Turing.

Dimungkinkan untuk menganggap persamaan diofantin sebagai perangkat komputasi juga. Pertimbangkan persamaannya y = X². Ini memiliki banyak solusi integer. Jika Anda mencolokkan bilangan bulat yang berbeda X dan selesaikan untuk ynilai -nilai yang Anda dapatkan semua milik sekumpulan bilangan bulat yang terkenal: kotak yang sempurna. Sangat mudah untuk membayangkan program komputer (yaitu, mesin Turing) yang melakukan tugas yang setara: “Hitung urutan kotak sempurna.”

Persamaan diofantin lainnya dapat mengkodekan jenis perhitungan lainnya.

Untuk menyelesaikan masalah ke -10 asli Hilbert, ahli matematika dibangun di atas ide ini. Dalam pekerjaan yang dimulai dengan Julia Robinson dan lainnya sekitar tahun 1950 dan memuncak dalam hasil Matiyasevich tahun 1970, ditunjukkan bahwa untuk setiap mesin Turing, ada persamaan diofantin yang sesuai. “Itu benar -benar tidak terduga,” kata Hector Fit Universitas Katolik Kepausan Chili di Santiago. “Persamaan diophantine atas bilangan bulat sudah cukup untuk mendefinisikan, pada dasarnya, apa pun yang dapat Anda bayangkan.”

Selain itu, ahli matematika mengatur korespondensi yang elegan ini sehingga jika mesin Turing dihentikan untuk input yang diberikan, persamaan diofantin yang sesuai akan memiliki solusi integer. Jika mesin Turing berjalan selamanya, persamaan diofantin yang sesuai tidak akan memiliki solusi. Tapi ini berarti bahwa masalah ke -10 Hilbert mengkode masalah penghentian: algoritma yang dapat mengurutkan persamaan diofantin berdasarkan apakah mereka memiliki solusi integer atau tidak akan dapat mengurutkan mesin Turing berdasarkan apakah mereka dihentikan atau tidak.

Dengan kata lain, masalah ke -10 Hilbert tidak dapat diputuskan.

Matematikawan berharap untuk mengikuti pendekatan yang sama untuk membuktikan versi masalah yang diperluas, cincin-of-integers-tetapi mereka melakukan hambatan.

Menyesuaikan Pekerjaan

Korespondensi yang berguna antara mesin Turing dan persamaan diophantine berantakan ketika persamaan diizinkan untuk memiliki solusi non-integer. Misalnya, pertimbangkan lagi persamaannya y = X². Jika Anda bekerja di cincin bilangan bulat yang mencakup √2, maka Anda akan berakhir dengan beberapa solusi baru, seperti X = √2, y = 2. Persamaan tidak lagi sesuai dengan mesin Turing yang menghitung kotak sempurna – dan, lebih umum, persamaan diophantine tidak dapat lagi menyandikan masalah penghentian.

Tetapi pada tahun 1988, seorang mahasiswa pascasarjana di Universitas New York bernama Sasha Shlapentokh Mulai bermain dengan ide untuk mengatasi masalah ini. Pada tahun 2000, ia dan yang lainnya telah merumuskan sebuah rencana. Katakanlah Anda harus menambahkan banyak istilah tambahan ke persamaan seperti y = X² yang secara ajaib dipaksakan X Untuk menjadi bilangan bulat lagi, bahkan dalam sistem bilangan yang berbeda. Kemudian Anda bisa menyelamatkan korespondensi dengan mesin Turing. Bisakah hal yang sama dilakukan untuk semua persamaan diofantin? Jika demikian, itu berarti masalah Hilbert dapat menyandikan masalah penghentian dalam sistem angka baru.

Selama bertahun -tahun, Shlapentokh dan ahli matematika lainnya menemukan istilah apa yang harus mereka tambahkan ke persamaan diofantin untuk berbagai jenis cincin, yang memungkinkan mereka untuk menunjukkan bahwa masalah Hilbert masih tidak dapat diputuskan dalam pengaturan tersebut. Mereka kemudian merebus semua cincin bilangan bulat yang tersisa ke satu kasus: cincin yang melibatkan angka imajiner Saya. Matematikawan menyadari bahwa dalam hal ini, istilah yang harus mereka tambahkan dapat ditentukan menggunakan persamaan khusus yang disebut kurva elips.

Tetapi kurva elips harus memenuhi dua properti. Pertama, itu perlu memiliki banyak solusi yang tak terbatas. Kedua, jika Anda beralih ke cincin bilangan bulat yang berbeda – jika Anda menghapus nomor imajiner dari sistem nomor Anda – maka semua solusi untuk kurva elips harus mempertahankan struktur yang mendasarinya yang sama.

Ternyata, membangun kurva elips yang bekerja untuk setiap cincin yang tersisa adalah tugas yang sangat halus dan sulit. Tapi Koymans dan Pagano – pakar pada kurva elips yang telah bekerja sama erat sejak mereka masih di sekolah pascasarjana – memiliki alat yang tepat untuk dicoba.

Malam tanpa tidur

Sejak waktunya sebagai sarjana, Koyman telah memikirkan masalah ke -10 Hilbert. Di seluruh sekolah pascasarjana, dan sepanjang kolaborasinya dengan Pagano, itu memberi isyarat. “Saya menghabiskan beberapa hari setiap tahun memikirkannya dan macet,” kata Koymans. “Aku akan mencoba tiga hal dan mereka semua akan meledak di wajahku.”

Pada tahun 2022, saat berada di sebuah konferensi di Banff, Kanada, dia dan Pagano Ende D mengobrol tentang masalahnya. Mereka berharap bahwa bersama -sama, mereka dapat membangun kurva elips khusus yang diperlukan untuk menyelesaikan masalah. Setelah menyelesaikan beberapa proyek lain, mereka mulai bekerja.

Mereka mulai dengan persamaan sederhana untuk kurva elips yang tidak memenuhi salah satu sifat yang diperlukan. Mereka tahu mereka dapat menggunakan teknik mapan yang disebut twist kuadratik-sesuatu yang telah mereka pelajari untuk bagian yang lebih baik dari satu dekade-untuk mengubah persamaan sehingga akan memenuhi kondisi pertama. Mereka hanya perlu melipatgandakan salah satu variabel Persamaan dengan angka tertentu, dan mereka akan mendapatkan kurva elips baru dengan banyak solusi yang tak terbatas.

Tapi ini meninggalkan mereka dengan masalah. Mereka tidak memiliki cara untuk menjamin bahwa kurva baru ini memenuhi properti kedua – bahwa solusinya akan terlihat serupa untuk cincin yang berbeda dengan angka imajiner. Para ahli matematika perlu mendapatkan kontrol yang lebih baik atas sentuhan kuadratik.

Mereka macet. “Aku punya perasaan gelap ini,” kata Koymans. “Saya mulai curiga bahwa kami kehilangan sesuatu.”

Kemudian, di musim panas 2024, saat mengerjakan masalah yang berbeda, pasangan harus menggunakan tikungan kuadrat lagi. Suatu malam, di tengah -tengah penelitian ini, Koyman mendapati dirinya terbangun, tidak dapat berhenti memikirkan masalah ke -10 Hilbert.

Pekerjaan lain itu, Koymans menyadari, memberi mereka petunjuk penting, salah satu dari kesesuaian matematika yang aneh dan mengejutkan yang kadang -kadang muncul: jika angka yang mereka gunakan dalam twist kuadrat adalah produk dari tiga bilangan prima, maka mereka akan mendapatkan kendali yang mereka butuhkan untuk menjamin properti kedua. Tetapi karena kurva elips mereka harus dibangun dengan sangat hati -hati dan memenuhi begitu banyak spesifikasi, ada banyak kendala tambahan tentang apa yang bisa dilakukan ketiga bilangan prima. Bisakah Koymans dan Pagano menemukan yang berhasil – tidak peduli cincin mana yang mereka gunakan?

Pagano kebetulan telah merencanakan kunjungan ke Institut Teknologi Federal Swiss Zurich, tempat Koyman bekerja pada saat itu, beberapa hari kemudian. Mereka menghabiskan minggu berikutnya berjuang di papan tulis bersama, mencoba menemukan bilangan prima yang akan memenuhi semua kendala. Akhirnya, mereka menemukan bahwa mereka harus menggunakan empat bilangan prima, bukan tiga, untuk membangun sentuhan kuadratik mereka. Ini memungkinkan mereka untuk menerapkan metode dari area matematika yang sepenuhnya terpisah, yang disebut kombinatorik aditif, untuk memastikan bahwa kombinasi bilangan prima yang tepat ada untuk setiap cincin.

Itu adalah bagian terakhir: mereka membangun kurva elips mereka. Itu memberi mereka resep yang mereka butuhkan untuk menambahkan istilah ke persamaan diofantin mereka, yang kemudian memungkinkan mereka untuk menyandikan mesin Turing – dan masalah penghentian – dalam persamaan itu, terlepas dari sistem bilangan apa yang mereka gunakan. Itu diselesaikan. Masalah ke -10 Hilbert tidak dapat diputuskan untuk setiap cincin bilangan bulat.

Hasilnya dikurung lebih lanjut Kamis lalu, ketika, kurang dari dua bulan setelah Koymans dan Pagano memposting makalah mereka secara online, tim independen yang terdiri dari empat ahli matematika mengumumkan a Bukti baru dari hasil yang sama. Alih -alih mencari kurva elips khusus, mereka mengandalkan persamaan yang berbeda untuk melakukan pekerjaan yang sama.

Kedua kelompok berharap untuk menggunakan teknik mereka – yang memberi mereka kontrol yang belum pernah terjadi sebelumnya atas kurva elips dan persamaan terkait – untuk membuat kemajuan pada masalah lain juga. “Ada kemungkinan bahwa kedua metode tersebut dapat digunakan bersama untuk melakukan lebih banyak lagi,” kata Manjul Bhargavaseorang ahli matematika di Universitas Princeton dan salah satu penulis bukti kedua.

Sementara itu, pencarian di mana kegelisahan berakhir dan decidability dimulai tidak berakhir: Matematikawan terus mengeksplorasi masalah ke -10 Hilbert dalam pengaturan baru.

Ini hanya salah satu dari banyak pertanyaan, menurut Andrew Granville dari University of Montreal, bahwa “mencerminkan sisi filosofis dari apa yang ada di dunia ini benar.”

Semua pengetahuan memiliki batasan. “Itu mengingatkan kita ada hal -hal yang tidak bisa dilakukan,” kata Granville. “Tidak masalah siapa Anda atau siapa Anda.”

Cerita asli dicetak ulang dengan izin dari Berapa banyak majalahpublikasi editorial independen dari Yayasan Simons yang misinya adalah untuk meningkatkan pemahaman publik tentang sains dengan meliput perkembangan penelitian dan tren matematika dan ilmu fisik dan kehidupan.