Bukti ’10 Martini’ Menghubungkan Mekanika Kuantum dengan Struktur Matematika yang Sangat Rumit

Versi aslinya dari cerita ini muncul di Majalah Kuanta.

Pada tahun 1974, lima tahun sebelum dia menulis bukunya yang memenangkan Hadiah Pulitzer Gödel, Escher, Bach: Jalinan Emas Abadi, Douglas Hofstadter adalah seorang mahasiswa pascasarjana di bidang fisika di Universitas Oregon. Ketika penasihat doktoralnya melanjutkan cuti panjang ke Regensburg, Jerman, Hofstadter ikut serta, berharap untuk mempraktikkan bahasa Jermannya. Pasangan ini bergabung dengan sekelompok fisikawan teoretis brilian yang sedang memikirkan masalah tertentu dalam teori kuantum. Mereka ingin menentukan tingkat energi elektron dalam jaringan kristal yang ditempatkan di dekat magnet.

Hofstadter adalah orang yang aneh, tidak mampu mengikuti alur pemikiran orang lain. Kalau dipikir-pikir lagi, dia senang. “Salah satu keberuntungan saya adalah saya tidak bisa mengimbangi mereka,” katanya. “Mereka membuktikan teorema, tapi tidak ada hubungannya dengan inti situasi.”

Hofstadter malah memutuskan untuk menguji pendekatan yang lebih membumi. Daripada membuktikan teorema, dia akan menghitung beberapa angka menggunakan HP 9820A kalkulator meja—mesin mirip komputer yang beratnya hampir 40 pon dan dapat diprogram untuk melakukan perhitungan yang rumit.

Hofstadter membutuhkannya untuk menyelesaikan rumusan tertentu persamaan Schrödinger, yang merupakan inti mekanika kuantum. Ketika informasi tertentu mengenai elektron dan lingkungannya diberikan sebagai masukan, persamaan Schrödinger menjelaskan bagaimana elektron akan berperilaku. Secara khusus, solusinya memberi tahu Anda jumlah energi yang dimiliki elektron.

Dalam kasus yang menarik perhatian Hofstadter, persamaan Schrödinger mencakup variabel yang disebut alpha, produk dari kekuatan medan magnet dan luas satu kotak persegi. Alpha menangkap informasi tentang gaya yang bekerja pada elektron.

Tim matematikawan di Jerman mengetahui bahwa ketika alfa bersifat rasional—yakni bilangan bulat atau pecahan—menyelesaikan persamaan Schrödinger adalah hal yang sulit namun mungkin dilakukan (asalkan Anda memiliki kalkulator yang cukup besar). Namun ketika alpha bersifat irasional, artinya tidak dapat dituliskan sebagai pecahan, mereka tidak tahu bagaimana menyelesaikannya.

Daripada berkutat dengan kasus irasional seperti rekan-rekannya, Hofstadter memulai dengan apa yang dia ketahui. Dia memprogram kalkulatornya untuk mengambil nilai rasional alfa sebagai masukan dan mencetak keluarannya pada gulungan kertas. Hasilnya mewakili tingkat energi elektron yang diizinkan dan terlarang.

Setiap malam, Hofstadter membiarkan kalkulatornya berputar. Keesokan paginya, dia kembali ke gulungan kertas yang dibuka dari mesin, mendaftar lokasi energi yang diizinkan untuk setiap nilai rasional alfa yang dia tetapkan sebagai masukan. Dia merekatkan beberapa lembar kertas grafik dan, dengan menggunakan spidol, mulai dengan cermat membuat grafik nilai-nilai energi ini. Gambar tersebut kemudian dikenal sebagai kupu-kupu Hofstadter, karena kemiripan ruang negatif grafik dengan pola sayap serangga.

Rekan-rekan Hofstadter tidak dapat memahami inti dari pendekatannya yang melelahkan. Mereka bercanda bahwa dia mencoba memintal jerami menjadi emas dan menyebut kalkulatornya “Rumpelstilzchen.”

Bahkan penasihatnya menganggap upaya tersebut sebagai “numerologi” dan mengancam akan menghentikan pendanaannya. “Dia menyiratkan bahwa saya percaya takhayul dan berbicara omong kosong,” kata Hofstadter. “Menemukan makna dan pola angka ketika angka tersebut tidak ada.”

Namun kupu-kupu yang mulai muncul di kertas grafiknya membuatnya penasaran. Hofstadter memperhatikan bahwa ketika dia memasukkan pecahan, energi yang diizinkan akan dipecah menjadi nilai terlarang yang panjang. Semakin rumit pecahannya, semakin banyak angka penyebutnya, jarak antar energi yang mungkin semakin banyak. Nilai energi mulai membentuk pola yang mencolok secara visual—fraktal, artinya bagian-bagian kecilnya tampak sama dengan keseluruhan.

Perasaannya memberitahunya bahwa itu mencerminkan kebenaran matematika yang mendalam. “Sangat jelas bagi saya bahwa saya mempunyai seekor harimau di bagian ekornya,” katanya. Dia mengenali harimau itu. Itu adalah set Cantor.

Himpunan ini dinamai ahli matematika Georg Cantor, yang mempopulerkannya pada tahun 1883 dengan mengikuti aturan sederhana: Ambil satu ruas garis, bagi menjadi tiga bagian yang sama besar, lalu hapus sepertiga tengahnya. Ini memberi Anda dua segmen yang dipisahkan oleh celah. Sekarang hapus sepertiga tengah dari masing-masingnya, dan seterusnya. Jika Anda melakukan prosedur ini berkali-kali, Anda akan mendapatkan himpunan titik tak terhingga yang tersebar seperti debu di sepanjang garis bilangan.

Hofstadter tidak akan pernah memasukkan nilai alfa yang tidak rasional. Bilangan irasional tidak dapat dinyatakan sebagai pecahan—membutuhkan pembilang atau penyebut yang jumlahnya tak terhingga, sesuatu yang tidak mungkin dapat ditangani oleh program kalkulator. Namun ia memperhatikan bahwa ketika nilai rasional alfa semakin mendekati bilangan irasional, himpunan nilai energi yang diizinkan—garis tinta di setiap baris gambar kupu-kupunya—semakin tampak seperti himpunan Cantor. Jadi, dia berhipotesis, ketika alfa tidak rasional, energi yang mungkin akan membentuk himpunan Cantor yang sebenarnya.

Beberapa tahun kemudian, dua ahli matematika terkemuka sampai pada kesimpulan yang sama dari arah yang sangat berbeda. Barry Simon dan Mark Kac telah mempelajari apa yang mereka sebut fungsi hampir periodik. Keluaran fungsi periodik, seperti gelombang sinus, berulang terus menerus. Namun fungsi yang hampir periodik menelusuri jalur yang hampir berulang, namun tidak pernah berulang.

Pada tahun 1981, Kac dan Simon bertemu untuk makan siang dan mendiskusikan versi persamaan Schrödinger yang coba dipecahkan oleh Hofstadter dan rekan-rekannya. Ketika alpha adalah nilai irasional, persamaan berubah menjadi fungsi yang hampir periodik. Fenomena itulah yang sedang mereka pelajari. Dan berdasarkan apa yang mereka ketahui tentang fungsi hampir periodik, Hofstadter benar: Tingkat energi yang diizinkan harus membentuk himpunan Cantor ketika alfa tidak rasional.

Namun Simon dan Kac juga tidak bisa membuktikannya. Kac bilang dia akan membeli 10 martini untuk siapa saja yang bisa. Simon mulai mempublikasikan tawaran Kac, dan masalahnya dikenal sebagai dugaan 10 martini.

Selama bertahun-tahun, para matematikawan berusaha keras untuk membuktikan dugaan nilai-nilai alfa tertentu yang tidak rasional (tetapi tidak semua). Simon mengumumkan salah satu hasil antara ini pada tahun 1982. Kac menawarinya tiga martini. Ketika Kac meninggal pada tahun 1984, permasalahannya tetap terbuka. Bukti senilai 10 martini tidak akan muncul selama 20 tahun berikutnya.

Hanya Sedikit Kotor

Pada tahun 2003, Svetlana Jitomirskayayang telah menghabiskan waktu bertahun-tahun mempelajari fungsi hampir periodik yang tertanam dalam persamaan Schrödinger, baru saja menyerah pada tujuan karirnya untuk membuktikan dugaan 10 martini. Setahun sebelumnya, seorang pesaing bernama Joaquim Puig telah membuktikannya untuk semua kecuali beberapa kelas nilai alfa yang tidak rasional. Terlebih lagi, dia menggunakan teknik yang dia publikasikan sebelumnya untuk melakukannya. “Saya menendang diri saya sendiri,” katanya. “Semua kerja keras telah menjadi bukti saya, dan kemudian dia menyampaikan argumen yang indah ini.”

Jadi dia terkejut ketika seorang matematikawan berusia 24 tahun bernama Artur Avila mengunjunginya dan menyarankan agar mereka mengerjakan nilai alfa yang tersisa. “Saya mengatakan kepadanya bahwa ini akan sangat sulit, sangat memakan waktu, dan tidak ada yang peduli,” katanya.

Orang-orang melakukannya. Buktinya, mereka diposting online pada tahun 2005pada akhirnya diterbitkan di Sejarah Matematikajurnal paling bergengsi di bidangnya. Avila kemudian memenangkan Fields Medal sebagian untuk karyanya pada masalah tersebut.

Mereka memutuskan untuk menghormati kontrak 10 martini itu sendiri. “Kami punya banyak minuman perayaan, termasuk martini,” kata Jitomirskaya.

Namun dalam beberapa hal, buktinya kurang memuaskan. Jitomirskaya dan Avila telah menggunakan metode yang hanya diterapkan pada nilai alfa irasional tertentu. Dengan menggabungkannya dengan bukti perantara yang ada sebelumnya, mereka dapat mengatakan bahwa masalahnya telah terpecahkan. Namun bukti gabungan ini tidaklah elegan. Itu adalah selimut tambal sulam, setiap kotak dijahit dari argumen yang berbeda.

Selain itu, bukti-bukti tersebut hanya menyelesaikan dugaan seperti yang dinyatakan pada awalnya, yaitu melibatkan penyederhanaan asumsi tentang lingkungan elektron. Situasi yang lebih realistis lebih berantakan: Atom-atom dalam benda padat tersusun dalam pola yang lebih rumit, dan medan magnet tidak terlalu konstan. “Anda sudah memverifikasinya untuk model yang satu ini, tapi apa hubungannya dengan kenyataan?” dikatakan Simon Beckerseorang ahli matematika di Institut Teknologi Federal Swiss Zurich.

Situasi yang lebih realistis ini mengharuskan Anda mengubah bagian persamaan Schrödinger tempat alfa muncul. Dan ketika Anda melakukannya, bukti 10 martini berhenti bekerja. “Hal ini selalu mengganggu saya,” kata Jitomirskaya.

Penguraian bukti dalam konteks yang lebih luas ini juga menyiratkan bahwa pola fraktal indah yang muncul—himpunan Cantor, kupu-kupu Hofstadter—tidak lebih dari keingintahuan matematis, sesuatu yang akan hilang begitu persamaan dibuat lebih realistis.

Avila dan Jitomirskaya beralih ke masalah lain. Bahkan Hofstadter pun ragu. Jika suatu eksperimen melihat kupu-kupunya, dia akan menulis Godel, Escher, Bach“Saya akan menjadi orang yang paling terkejut di dunia.”

Namun pada tahun 2013, sekelompok fisikawan di Universitas Columbia menangkap kupu-kupunya di laboratorium. Mereka menempatkan dua lapisan tipis graphene dalam medan magnet, kemudian mengukur tingkat energi elektron graphene. Fraktal kuantum muncul dengan segala kemegahannya. “Tiba-tiba hal itu berubah dari imajinasi ahli matematika menjadi sesuatu yang praktis,” kata Jitomirskaya. “Ini menjadi sangat meresahkan.”

Dia ingin menjelaskannya dengan matematika. Dan seorang kolaborator baru mempunyai ide tentang cara melakukannya.

Putaran Lain, Dengan Putaran

Pada tahun 2019, Lingrui Ge bergabung dengan grup Jitomirskaya. Dia terinspirasi oleh pekerjaan yang dia dan Avila lakukan pada soal 10-martini, serta oleh arah penelitian yang Avila coba lakukan sejak saat itu.

Avila sudah bosan dengan pendekatan matematis yang sepotong-sepotong ians terbiasa memahami fungsi yang hampir periodik. Dia malah mulai mengembangkan apa yang dia sebut sebagai “teori global”—sebuah cara untuk mengungkap struktur tingkat yang lebih tinggi dalam semua jenis fungsi yang hampir periodik, yang kemudian dapat dia gunakan untuk menyelesaikan seluruh kelas fungsi sekaligus.

Untuk melakukan ini, ia mengaitkan objek geometris dengan fungsi hampir periodik tertentu dan mempelajari sifat-sifatnya. Dia menyadari bahwa beberapa sifat geometris tersebut dapat membantunya menyelesaikan fungsi aslinya.

Tapi itu hanya berfungsi untuk jenis fungsi tertentu. Itu tidak dapat menangani jenis perhitungan yang diperlukan untuk soal 10 martini. Tidak jelas apakah hal itu bisa terjadi.

Hal ini karena untuk membuktikan dugaan 10-martini, matematikawan harus terlebih dahulu mengubah persamaan Schrödinger menjadi persamaan terkait yang disebut persamaan ganda, lalu menyelesaikan persamaan baru tersebut. Teori Avila tidak bisa menjelaskan apa pun tentang struktur tingkat ganda yang lebih tinggi.

Atau begitulah yang dia pikirkan. Namun Ge tertarik dengan objek geometris yang dideskripsikan Avila. Dia menduga bahwa properti lain dari objek tersebut menyembunyikan lebih banyak informasi—informasi yang mungkin menjelaskan aspek persamaan ganda. “Saya dapat melihat bahwa itu adalah teori yang sangat indah dan penting,” kata Ge.

Dia dan Jitomirskaya—bersama Jiangong Anda Dan Qi Zhou dari Universitas Nankai di Tiongkok—menemukan cara baru untuk menafsirkan objek geometris Avila dan menerapkannya pada dual. Hal ini membuat teori ini jauh lebih kuat. Itu juga memungkinkan Ge, Jitomirskaya, dan You untuk menulis satu bukti yang memecahkan versi masalah 10 martini dalam banyak pengaturan berbeda. Tidak diperlukan selimut tambal sulam.

Hasilnya mengukuhkan kupu-kupu Hofstadter sebagai fenomena kehidupan nyata. Dunia abstrak teori bilangan memegang kekuasaan dalam dunia fisika.

Para ahli matematika sejak itu menggunakan teori global Avila versi mereka untuk menyelesaikannya dua lainnya masalah-masalah utama di daerah. Mereka memperkirakan bahwa ini hanyalah permulaan dari apa yang dapat mereka lakukan dengan metode yang telah mereka temukan. “Kami menemukan misteri tersembunyi di balik teori global,” kata Ge. “Itu seperti mercusuar di lautan gelap yang menunjukkan arah yang benar.”

Cerita asli dicetak ulang dengan izin dari Majalah Kuanta, publikasi editorial independen dari Yayasan Simons yang misinya adalah untuk meningkatkan pemahaman masyarakat terhadap sains dengan meliput perkembangan dan tren penelitian di bidang matematika serta ilmu fisika dan kehidupan.