Upaya fisika ground dalam matematika membuka rahasia waktu

Versi aslinya dari cerita ini muncul di Berapa banyak majalah.

Pada pergantian abad ke -20, ahli matematika terkenal David Hilbert memiliki ambisi besar untuk membawa cara berpikir matematis yang lebih ketat ke dunia fisika. Pada saat itu, fisikawan masih terganggu oleh perdebatan tentang definisi dasar – apa itu panas? Bagaimana molekul disusun? —dan Hilbert berharap bahwa logika formal matematika dapat memberikan panduan.

Pada pagi hari tanggal 8 Agustus 1900, ia menyampaikan daftar 23 masalah matematika utama kepada Kongres Matematikawan Internasional. Nomor enam: Menghasilkan bukti kedap udara dari hukum fisika.

Lingkup masalah keenam Hilbert sangat besar. Dia meminta “memperlakukan dengan cara yang sama [as geometry]melalui aksioma, ilmu -ilmu fisik di mana matematika memainkan peran penting. “

Tantangannya untuk aksiomatisasi fisika adalah “benar -benar sebuah program,” kata Dave Levermoreseorang ahli matematika di University of Maryland. “Cara masalah keenam sebenarnya dinyatakan, itu tidak akan pernah diselesaikan.”

Tapi Hilbert memberikan titik awal. Untuk mempelajari sifat -sifat yang berbeda dari gas – katakanlah, kecepatan molekulnya, atau suhu rata -rata – ahli fisika menggunakan persamaan yang berbeda. Secara khusus, mereka menggunakan satu set persamaan untuk menggambarkan bagaimana molekul individu dalam gerakan gas, dan satu lagi untuk menggambarkan perilaku gas secara keseluruhan. Mungkinkah, Hilbert bertanya -tanya, untuk menunjukkan bahwa satu set persamaan menyiratkan yang lain – bahwa persamaan ini, seperti yang diasumsikan oleh fisikawan tetapi tidak terbukti secara ketat, hanya cara yang berbeda untuk memodelkan realitas yang sama?

Selama 125 tahun, bahkan axiomatizing sudut kecil fisika ini tampak mustahil. Matematikawan membuat sebagian kemajuan, menghasilkan bukti yang hanya berhasil ketika mereka mempertimbangkan perilaku gas pada rentang waktu yang sangat singkat atau dalam situasi lain yang dibuat -buat. Tapi ini kurang dari jenis hasil yang dibayangkan Hilbert.

Sekarang, tiga ahli matematika akhirnya memberikan hasil seperti itu. Pekerjaan mereka tidak hanya merupakan kemajuan besar dalam program Hilbert, tetapi juga memanfaatkan pertanyaan tentang sifat waktu yang tidak dapat diubah.

“Ini pekerjaan yang indah,” kata Gregory Falkovichseorang fisikawan di Weizmann Institute of Science. “Tur de force.”

Di bawah mesoscope

Pertimbangkan gas yang partikelnya sangat tersebar. Ada banyak cara seorang fisikawan mungkin memodelkannya.

Pada tingkat mikroskopis, gas terdiri dari molekul individu yang bertindak seperti bola biliar, bergerak melalui ruang angkasa menurut hukum gerak Isaac Newton yang berusia 350 tahun. Model perilaku gas ini disebut sistem partikel keras.

Sekarang memperbesar sedikit. Pada skala “mesoscopic” baru ini, bidang penglihatan Anda meliputi terlalu banyak molekul untuk dilacak secara individual. Sebagai gantinya, Anda akan memodelkan gas menggunakan persamaan yang dikembangkan oleh fisikawan James Clerk Maxwell dan Ludwig Boltzmann pada akhir abad ke -19. Disebut persamaan Boltzmann, itu menggambarkan kemungkinan perilaku molekul gas, memberi tahu Anda berapa banyak partikel yang dapat Anda temukan di lokasi yang berbeda yang bergerak dengan kecepatan yang berbeda. Model gas ini memungkinkan fisikawan mempelajari bagaimana udara bergerak pada skala kecil – misalnya, bagaimana mungkin mengalir di sekitar pesawat ulang -alik.

Perkecil lagi, dan Anda tidak bisa lagi mengatakan bahwa gas terdiri dari partikel individu. Itu bertindak seperti satu zat kontinu. Untuk memodelkan perilaku makroskopis ini-bagaimana padat gas dan seberapa cepat ia bergerak di mana pun di ruang angkasa-Anda akan membutuhkan satu set persamaan lain, yang disebut persamaan Navier-Stokes.

Fisikawan memandang ketiga model perilaku gas yang berbeda ini kompatibel; Mereka hanya lensa yang berbeda untuk memahami hal yang sama. Tetapi ahli matematika berharap untuk berkontribusi pada masalah keenam Hilbert ingin membuktikan hal itu dengan ketat. Mereka perlu menunjukkan bahwa model partikel individu Newton memunculkan deskripsi statistik Boltzmann, dan bahwa persamaan Boltzmann pada gilirannya memunculkan persamaan Navier-Stokes.

Matematikawan telah berhasil dengan langkah kedua, membuktikan bahwa dimungkinkan untuk mendapatkan model gas makroskopis dari yang mesoscopic di berbagai pengaturan. Tetapi mereka tidak bisa menyelesaikan langkah pertama, meninggalkan rantai logika tidak lengkap.

Sekarang itu berubah. Dalam serangkaian makalah, ahli matematika Yu Deng, Zaher HaaniDan Xiao Ma membuktikan langkah mikroskopis ke mesoskopis yang lebih sulit untuk gas di salah satu pengaturan ini, menyelesaikan rantai untuk pertama kalinya. Hasilnya dan teknik yang memungkinkannya adalah “pengalihan paradigma,” kata Yan Guo Universitas Brown.

Deklarasi Kemerdekaan

Boltzmann sudah dapat menunjukkan bahwa hukum gerak Newton memunculkan persamaan mesoscopic -nya, selama satu asumsi penting berlaku: bahwa partikel -partikel dalam gas bergerak lebih atau kurang secara independen satu sama lain. Artinya, harus sangat jarang bagi pasangan molekul tertentu untuk bertabrakan satu sama lain beberapa kali.

Tetapi Boltzmann tidak dapat menunjukkan secara definitif bahwa asumsi ini benar. “Apa yang tidak bisa dia lakukan, tentu saja, terbukti teorema tentang ini,” kata Sergio Simonella Universitas Sapienza di Roma. “Tidak ada struktur, tidak ada alat pada saat itu.”

Lagi pula, ada banyak cara yang tak terbatas kumpulan partikel bertabrakan dan ingatan. “Anda hanya mendapatkan ledakan besar dari kemungkinan arah yang bisa mereka tuju,” kata Levermore – menjadikannya “mimpi buruk” untuk benar -benar membuktikan bahwa skenario yang melibatkan banyak ingatan sama jarangnya seperti yang dibutuhkan Boltzmann.

Pada tahun 1975, seorang ahli matematika bernama Oscar Lanford berhasil membuktikan initetapi hanya untuk periode waktu yang sangat singkat. (Jumlah waktu yang tepat tergantung pada keadaan awal gas, tetapi kurang dari sekejap mata, menurut Simonella.) Kemudian buktinya rusak; Sebelum sebagian besar partikel mendapat kesempatan untuk bertabrakan sekali pun, Lanford tidak bisa lagi menjamin bahwa ingatan akan tetap menjadi kejadian yang jarang terjadi.

Dalam beberapa dekade sejak itu, banyak ahli matematika mencoba memperluas hasilnya, tidak berhasil.

Kemudian, pada bulan November 2023, Deng, sekarang di University of Chicago, dan Hani, dari University of Michigan, diposting pracetak yang menggoda bukti yang diinginkan. Sebuah makalah yang akan datang, mereka menulis, akan membangun hasil terbaru mereka untuk menyelidiki “perpanjangan lama teorema Lanford.”

Matematikawan lain tidak tahu apa yang harus dilakukan dari pengumuman itu. “Saya tidak berpikir itu mungkin,” kata Batu dari Imperial College London. Deng dan Hani bahkan biasanya tidak bekerja dengan sistem partikel; Sampai saat itu, mereka terutama mempelajari sistem yang terdiri dari gelombang (seperti sinar cahaya).

Jadi ahli matematika dengan penuh semangat menunggu bukti yang dijanjikan.

Saat partikel bertabrakan

Hasil Deng dan Hani 2023 melibatkan analisis transisi dari skala mikroskopis ke skala mesoscopic dalam konteks gelombang. Sekitar satu tahun sebelum ahli matematika memposting makalah mereka secara online, Deng berada di sebuah konferensi, di mana ia bertemu dengan seorang mahasiswa pascasarjana di Universitas Princeton bernama Xiao Ma. Mereka akhirnya membahas karya Deng dan Hani, dan bagaimana mereka dapat menyesuaikan metode dengan partikel. Melakukan hal itu akan memungkinkan mereka untuk memperluas hasil Lanford – untuk menunjukkan bahwa ingatan partikel jarang terjadi bahkan pada rentang waktu yang lebih lama.

Itu adalah ide yang sudah dipertimbangkan Deng dan Hani. Terkesan oleh wawasan MA tentang topik tersebut, Deng mengundangnya untuk membantu mereka mengubah intuisi mereka menjadi bukti.

Ketiganya berharap untuk fokus pada skenario yang banyak dipelajari di mana ahli matematika telah membuktikan langkah kedua, meso-ke-Macro dalam masalah keenam Hilbert. Dalam skenario ini, gas encer dari partikel bola terperangkap dalam sebuah kotak. Jika sebuah partikel menyentuh salah satu dinding kotak, itu muncul kembali di dinding yang berlawanan.

Tetapi untuk membuktikan langkah mikro-ke-meso yang lebih sulit untuk pengaturan ini-dengan menyelesaikan masalah keenam Hilbert-Deng, Hani, dan MA harus memortasikan teknik berbasis gelombang ke partikel. Jadi mereka mulai dalam pengaturan di mana tugas itu akan sedikit lebih mudah. Mereka bekerja dengan gas yang partikelnya didistribusikan secara acak dalam jumlah ruang yang tak terbatas; Berbeda dengan partikel -partikel dalam gas kotak, yang terus saling memantul, partikel -partikel ini akhirnya bubar dan berhenti bertabrakan. “Dalam kasus seluruh ruang, ada jalan pintas,” kata Deng.

Tiga ahli matematika pertama -tama perlu menabulasi berbagai pola tabrakan yang mungkin terjadi dalam gas mereka, dan seberapa besar kemungkinan masing -masing pola itu. Mereka dapat dengan mudah mengesampingkan skenario dengan tingkat ingatan yang sangat tinggi. Ini membuat mereka dengan jumlah pola yang terbatas, meskipun masih masif, untuk menganalisis – masing -masing melibatkan subset partikel tertentu yang bertabrakan, dalam urutan tertentu. Begitu mereka tahu persis apa yang diperlukan setiap pola, mereka dapat menggunakan informasi itu untuk memperkirakan kemungkinan terjadi.

Tetapi itu sering terasa seperti tugas yang mustahil, karena banyak pola melibatkan sejumlah besar partikel dan interaksi yang rumit dan tidak langsung di antara mereka. “Struktur set ini [of colliding particles] menjadi sangat rumit, ”kata Deng. Pada prinsipnya, ahli matematika perlu melacak setiap partikel ini secara bersamaan untuk menghitung perkiraan probabilitas yang mereka butuhkan.

Di situlah karya Deng dan Hani sebelumnya tentang gelombang memberi mereka wawasan penting. Dalam hasil itu, mereka menemukan cara untuk memecah pola rumit dari gelombang yang berinteraksi menjadi yang lebih sederhana. Mereka dengan hati -hati membuat teknik mereka sehingga, dengan bekerja dengan hanya beberapa gelombang sekaligus, mereka masih bisa mendapatkan perkiraan yang baik untuk kemungkinan pola gelombang lengkap yang lebih rumit.

Mereka berharap ide yang sama akan bekerja dalam pengaturan partikel.

Tetapi setelah tabrakan, partikel berperilaku sangat berbeda dari gelombang. Misalnya, partikel, tidak seperti gelombang, saling memantul, sangat mempengaruhi pola tabrakan yang dihasilkan dan kemungkinan terjadi. Deng, Hani dan Ma perlu mengerjakan ulang detail strategi mereka sejak awal.

Pertama, mereka menangani kasus -kasus paling sederhana, di mana setiap partikel bertabrakan hanya beberapa kali selama rentang waktu yang sangat singkat, tanpa ingatan. Mereka kemudian secara bertahap pindah ke kasus yang lebih sulit dan lebih sulit – jumlah waktu yang lebih lalu, dengan lebih banyak tabrakan dan ingatan.

Itu sama dengan seni seperti sains. “Intuisi ini dikembangkan secara bertahap, dimulai dengan beberapa upaya yang gagal,” kata Deng. Mereka harus masuk akal bagaimana mengiris pola tabrakan partikel yang besar dan rumit dengan cara yang akan menyederhanakan perhitungan mereka sambil menjaga perkiraan mereka sangat akurat.

“Ini adalah proses yang membutuhkan waktu berbulan -bulan,” kata Hani. “Kami akan terus terjebak.” Hampir setiap hari, mereka melompat pada pertemuan zoom untuk membicarakan hal -hal. “Banyak yang membuat istri saya kecewa, beberapa dari mereka terjadi sangat larut malam, atau sangat pagi,” kata Hani. “Saya akan menidurkan putri saya, dan kemudian kami akan mengadakan dua atau tiga jam pertemuan zoom.”

Akhirnya, pada musim semi 2024, ketiganya yakin mereka telah menutupi semuanya. Bukti mereka, yang mereka Diposting online Musim panas itu, menegaskan bahwa ingatan harus sangat , sangat tidak umum. Mereka telah menunjukkan, seperti yang mereka harapkan, bahwa dalam pengaturan ruang tak terbatas mereka, deskripsi Boltzmann tentang gas dapat berasal dari Newton. Skala mikroskopis dan mesoscopic jatuh di bawah kerangka matematika tunggal yang ketat.

“Saya pikir itu pekerjaan yang luar biasa,” kata Alexandru Ionescuseorang ahli matematika di Princeton yang juga penasihat doktoral Deng dan MA. “Ini adalah beberapa kemajuan paling signifikan dalam bertahun -tahun.”

Mereka sekarang siap untuk kembali ke pengaturan gas-in-a-box, di mana mereka akhirnya bisa menyelesaikan masalah keenam Hilbert.

Rantai yang sudah selesai

Tidak butuh waktu lama bagi mereka untuk memperpanjang hasil mereka dari pengaturan ruang tak terbatas ke yang kotak. “Delapan puluh persen dari buktinya masih sama dalam kasus seluruh ruang,” kata Deng.

Pada bulan Maret, mereka memposting makalah baru Itu menggabungkan bukti mereka dengan hasil sebelumnya yang menghubungkan persamaan Boltzmann dengan persamaan Navier-Stokes. Rantai logis lengkap: mereka menunjukkan bahwa, untuk model gas yang realistis, deskripsi mikroskopis dari partikel individu memang pada akhirnya menimbulkan deskripsi makroskopis dari perilaku skala besar gas.

Pekerjaan itu tidak hanya menandai resolusi kasus utama masalah keenam Hilbert. Ini juga memberikan resolusi matematika yang ketat dari paradoks lama.

Pada skala mikroskopis, di mana partikel bertindak seperti bola biliar, waktu dapat dibalik. Persamaan Newton memprediksi keduanya dari mana suatu partikel berasal dan ke mana ia pergi. Masa depan tidak berbeda secara fundamental dari masa lalu.

Tetapi pada level mesoscopic dan makroskopis, tidak ada yang akan kembali ke masa lalu. “Kita tahu betul bahwa, ke depan pada waktunya, satu menua tetapi tidak meremajakan; panas tidak secara spontan beralih dari tubuh yang dingin ke tubuh yang hangat; setetes tinta dalam segelas air menyebar, menggelapkan cairan, tetapi tidak secara spontan kembali ke bentuk kecil yang semula,” Simonella menulis. Baik persamaan Boltzmann maupun persamaan Navier-Stokes tidak dapat dibalik; Jika Anda mencoba menjalankan waktu mundur, hasilnya tidak masuk akal.

Bagi orang -orang sezaman Boltzmann, ini membingungkan. Bagaimana persamaan yang dapat diatasi waktu dapat diperoleh dari sistem waktu-reversibel?

Tetapi Boltzmann berpendapat bahwa tidak ada paradoks: bahkan jika setiap partikel dapat dimodelkan dengan cara yang dapat dibalikkan waktu, hampir setiap pola tabrakan diakhiri dengan penyebaran gas. Peluang, katakanlah, gas yang tiba -tiba berkontraksi pada dasarnya nol.

Lanford telah mengkonfirmasi intuisi ini secara matematis untuk kerangka waktunya yang sangat singkat. Sekarang hasil Deng, Hani, dan MA menegaskannya untuk situasi yang lebih realistis.

Ke depan, ahli matematika – yang masih meneliti rincian bukti baru – ingin menguji apakah teknik serupa mungkin berguna dalam konteks lain yang lebih realistis. Ini mungkin termasuk gas yang terdiri dari partikel -partikel dari berbagai bentuk, atau partikel yang berinteraksi dengan cara yang lebih rumit.

Sementara itu, kata Falkovich, bukti -bukti yang ketat ini dapat membantu fisikawan memahami mengapa gas berperilaku dengan cara tertentu di berbagai skala, dan mengapa model yang berbeda mungkin lebih atau kurang efektif dalam skenario yang berbeda. “Apa yang dilakukan matematikawan terhadap fisikawan,” katanya, “apakah mereka membangunkan kita.”

Catatan Editor: Karya Deng dan Hani tentang Sistem Gelombang sebagian didanai oleh Simons Foundation, yang juga mendanai majalah Quanta yang independen secara editorial.

Cerita asli dicetak ulang dengan izin dari Berapa banyak majalahpublikasi editorial independen dari Yayasan Simons yang misinya adalah untuk meningkatkan pemahaman publik tentang sains dengan meliput perkembangan penelitian dan tren matematika dan ilmu fisik dan kehidupan.