Selamat Hari Pi! Kami merayakan PI pada 14 Maret karena 3-14 memberikan tiga digit pertama dari nomor terkenal ini. Tapi apa masalahnya tentang PI? Mengapa mendapatkan hari? Baik, sebagai permulaan, itu mendefinisikan Bentuk paling sederhana, paling sempurna, lingkaran. Jadi ada di mana -mana di sekitar Anda. PI adalah rasio keliling dengan diameter lingkaran: P = C/d.
Tidak peduli seberapa besar atau kecilnya lingkaran, rasio itu selalu sama. Dalam notasi desimal, ini 3.141592653 … dan Anda dapat menjalankannya sejauh yang Anda inginkan, karena ini adalah bilangan yang tidak rasional, dan tidak pernah, pernah, pernah berakhir.
Apa yang dilakukan orang – pada kenyataannya apa yang dilakukan kalkulator jika Anda menekan P Tombol – Pilih sejumlah tempat desimal tertentu, tergantung pada presisi yang diperlukan, dan bundarkan ke nomor itu. Ini bukan pi yang benar -benar, tapi bisa dikatakan … itu a bagian dari pi. (Maaf, tapi setiap cerita hari pi membutuhkan pelam.)
Irasional sama irasionalnya
Menjadi sangat lama tidak dengan sendirinya membuat angka tidak rasional. Misalnya, katakanlah Anda memiliki persegi panjang yang berukuran 4 kali 11 meter. Rasio sisi, 4/11, sama dengan 0,36363636 … angka ini juga tidak ada habisnya, tetapi mengikuti sebuah pola. Dengan bilangan irasional, ada tidak ada pengulangan.
Perbedaan sebenarnya adalah itu rasional Angka dapat ditulis sebagai rasio dua bilangan bulat. (Dapatkan? Rasio-nal.) Dan rasio sama dengan fraksi. Jadi:
Ini juga merupakan kasus bahwa angka desimal yang terbatas, tidak peduli berapa lama, dapat dinyatakan sebagai rasio dua bilangan bulat. (Yang cukup membingungkan dengan sendirinya.) Bilangan irasional, di sisi lain, tidak dapat diekspresikan dalam bentuk fraksional.
Oh, kamu bisa mencoba. Misalnya, 22/7 adalah perkiraan yang cukup bagus. Tapi itu bukan pi. (Kita bisa merayakan Hari PI pada 22 Juli, karena sebagian besar dunia menggunakan format bulan-bulan untuk tanggal, dan itu akan menjadi 22-7).
Tapi mungkin Anda tidak cenderung mengambil kata -kata saya untuk itu. Jadi inilah yang akan saya lakukan: Saya akan menggunakan algoritma brute-force yang saya buat di Python untuk menghasilkan semua fraksi bilangan bulat yang mungkin dan lihat apakah salah satunya sama dengan PI.
No Pi di Python
Apa itu metode pendarahan yang brutal? Ini adalah cara menyelesaikan masalah yang tidak memerlukan kepintaran, hanya satu ton pekerjaan. Program saya dimulai dengan Fraction 1/1 dan secara metodis mengisapnya dengan menambahkan 1 ke pembilang atau penyebut. Inilah resepnya:
– Ambil fraksi (u/v) dan bandingkan dengan pi
– Jika u/v kurang dari pi, tambahkan satu ke pembilang (u+1)
– Jika u/v lebih besar dari PI, tambahkan satu ke penyebut (V+1)
– Jika u/v setara Untuk Pi, Anda menang. Anda baru saja membuktikan bahwa PI itu rasional.
Jadi seri dimulai seperti ini: 1/1, 2/1, 3/1, 4/1, 4/2, 5/2, 6/2, 7/2, 7/3, 8/3 … Maksud saya, Anda bisa melakukan ini di atas kertas, tetapi Anda akan segera menjadi gila. Saya menjalankan program saya untuk mengulangi 1.000 kali. (Jika Anda ingin melihat kodenya, Ini dia di google colab.) Kemudian saya merencanakan nilai desimal untuk semua 1.000 fraksi (karena sumbu horizontal berubah dari 1 menjadi 1.000, saya menggunakan skala log untuk mengompresnya.)
Setelah 1.000 berjalan, saya memiliki sebagian kecil dari 760/242. Ini adalah nilai yang baik untuk pi. Ini akurat untuk dua tempat desimal – standar 3.14, yang merupakan apa yang banyak orang gunakan. Tapi itu bukan pi. Oh, yah, bagaimana dengan 500.000 iterasi?
Ini memberi saya sebagian kecil dari:
Rasio bilangan bulat ini dekat – cocok dengan pi hingga tempat desimal keenam – tapi itu tetap bukan pi. Oke, bagaimana dengan 10 juta iterasi? Ini memberikan fraksi integer 7.585.471 lebih dari 2.414.531, yang dimatikan hanya 0,00003 persen. Tapi itu masih bukan pi.
Jadi, apa yang telah kita lakukan di sini? Tidak terlalu banyak. Kami tidak membuktikan PI itu tidak rasional, tetapi saya pikir setiap orang yang rasional akan cenderung menerimanya pada saat ini.
Membayangkan irasionalitas
Bagaimana dengan demo visual? Kita benar -benar dapat menunjukkan bahwa PI tidak rasional dengan mengayunkan bola di sekitar dalam lingkaran. Begini cara kerjanya: Pertama kita mulai dengan bola tunggal bergerak dengan kecepatan konstan.
Sekarang mari kita tambahkan bola lain di ujung bola itu. Ini bergerak dalam lingkaran dengan jari -jari yang sama, tetapi dengan kecepatan 3,5 kali lebih cepat. Ini tidak hanya membuat pola yang keren, tetapi pada titik tertentu pola akan diulang. Jika Anda mengawasi titik awal di sisi kanan, Anda dapat melihat kapan bola mulai menelusuri kembali jalannya:
Anda dapat mencoba rasio kecepatan apa pun yang mengevaluasi dengan angka desimal yang terbatas, seperti 3,5 di atas. Dengan kata lain, bilangan rasional! 3.5 dapat dinyatakan sebagai fraksi integer: 7/2. Masing -masing akan memberi Anda pola yang berbeda, tetapi untuk semua bilangan rasional pola pada akhirnya akan diulang.
Jadi apa yang terjadi saat Anda menggunakan bilangan irasional untuk kecepatan? Pada satu di bawah, saya memiliki bola kedua bergerak P kali kecepatan yang pertama:
Melihat? Polanya tidak pernah berulang. Ini seperti serangkaian angka yang tidak pernah berakhir di PI. Itu sudah dekat, tapi masih sedikit libur – Anda bisa melihat garis mulai menebal. Bahkan, saya membiarkannya berjalan untuk waktu yang lama dan inilah yang saya dapatkan:
Karena Anda tidak dapat menulis PI sebagai sebagian kecil dari bilangan bulat, kedua lingkaran tidak akan pernah menyinkronkan kembali. Ini cara yang keren untuk menunjukkan bahwa PI tidak rasional, tetapi juga menyenangkan untuk ditonton.
