Versi aslinya dari cerita ini muncul di Majalah Kuanta.
Sebuah bukti baru telah membawa para ahli matematika selangkah lebih dekat untuk memahami urutan tersembunyi dari “atom-atom aritmatika” tersebut, yaitu bilangan prima.
Bilangan prima—bilangan yang hanya habis dibagi oleh bilangan itu sendiri dan 1—adalah unsur penyusun matematika yang paling mendasar. Mereka juga yang paling misterius. Sekilas, mereka tampak tersebar secara acak di sepanjang garis bilangan. Namun tentu saja, bilangan prima tidaklah acak. Mereka benar-benar ditentukan, dan pengamatan lebih dekat akan mengungkapkan segala macam pola aneh, yang telah dicoba diungkap oleh para ahli matematika selama berabad-abad. Pemahaman yang lebih baik tentang bagaimana bilangan prima didistribusikan akan menerangi sebagian besar alam semesta matematika.
Meskipun ahli matematika mempunyai rumus yang memberikan perkiraan lokasi bilangan prima, mereka tidak dapat menentukannya dengan tepat. Sebaliknya, mereka harus mengambil pendekatan yang lebih tidak langsung.
Sekitar 300 SM, Euclid membuktikan bahwa bilangan prima itu jumlahnya tak terhingga. Para matematikawan mulai mengembangkan teoremanya, membuktikan pernyataan yang sama untuk bilangan prima yang memenuhi kriteria tambahan. (Contoh sederhana: Apakah ada bilangan prima yang jumlahnya tak terhingga yang tidak memuat angka 7?) Seiring berjalannya waktu, para ahli matematika membuat kriteria ini semakin ketat. Dengan menunjukkan bahwa masih banyak bilangan prima yang memenuhi batasan yang semakin ketat tersebut, mereka dapat mempelajari lebih lanjut tentang lokasi bilangan prima tersebut.
Namun pernyataan seperti ini sangat sulit dibuktikan. “Tidak banyak hasil seperti itu di luar sana,” kata Joni Teräväinen dari Universitas Turku di Finlandia.
Sekarang, dua ahli matematika—Ben Hijau dari Universitas Oxford dan Mehtab Sawhney dari Universitas Columbia—telah membuktikan pernyataan seperti itu untuk jenis bilangan prima yang sangat menantang. Buktinya, yaitu diposting daring pada bulan Oktober, tidak hanya mempertajam pemahaman matematikawan tentang bilangan prima. Hal ini juga menggunakan seperangkat alat dari bidang matematika yang sangat berbeda, menunjukkan bahwa alat tersebut jauh lebih kuat daripada yang dibayangkan para ahli matematika, dan berpotensi matang untuk diterapkan di tempat lain.
“Ini luar biasa,” kata John Friedlander dari Universitas Toronto. “Saya sangat terkejut mereka melakukan ini.”
Satu Set Percobaan
Matematikawan cenderung mempelajari keluarga bilangan prima yang cukup rumit untuk menjadi menarik namun masih cukup sederhana untuk dikembangkan. Mereka mungkin mencoba membuktikan, misalnya, bahwa ada banyak bilangan prima yang jaraknya 500 satuan tak terhingga. Atau kita dapat membuat bilangan prima yang jumlahnya tak terhingga dengan menjumlahkan kuadrat bilangan-bilangan lain.
Mehtaab Sawhney menyadari, secara mengejutkan, bahwa pekerjaan yang dia lakukan awal tahun ini adalah kunci untuk menyelesaikan masalah besar yang tampaknya tidak ada hubungannya dengan teori bilangan.
Batasan terakhir ini sangat berguna, memandu kemajuan matematika selama berabad-abad. Pada tahun 1640, Pierre de Fermat menduga bahwa ada banyak sekali bilangan prima yang dapat dirumuskan dengan mengkuadratkan dua bilangan bulat dan menjumlahkannya. (Bilangan prima 13, misalnya, dapat ditulis 22 + 32.) Leonhard Euler kemudian membuktikannya. Namun mengubah pertanyaannya sedikit saja—dengan menegaskan bahwa salah satu angka yang Anda kuadratkan adalah bilangan ganjil, mungkin, atau kuadrat sempurna—membuat soal menjadi jauh lebih sulit. “Semakin Anda membatasi suatu himpunan, semakin sulit menemukan bilangan prima di dalamnya,” kata Green.
Pada abad ke-19, penelitian terhadap pernyataan-pernyataan semacam ini mengarah pada berkembangnya banyak teori bilangan modern. Pada abad ke-20, hal ini membantu menginspirasi salah satu upaya matematika paling ambisius hingga saat ini, yaitu program Langland. Dan di abad ke-21, pengerjaan bilangan prima semacam ini terus menghasilkan teknik dan wawasan baru.
Pada tahun 2018, Friedlander dan Henryk Izaniec dari Universitas Rutgers menanyakan apakah ada banyak bilangan prima yang bentuknya tak terhingga P2 + 4Q2di mana keduanya P Dan Q juga harus prima. (Misalnya, 41 = 52 + 4 × 22.) Kendala tersebut ternyata sangat menantang untuk diatasi. Namun jika para ahli matematika dapat menyelesaikan permasalahan ini, mereka akan berhasil menerapkan tingkat kendali baru terhadap bilangan prima—persis seperti apa yang mereka harapkan selama ini.
Kunjungan yang Bermanfaat
Baik Green maupun Sawhney belum pernah memainkan permainan penghitungan bilangan prima seperti ini sebelumnya. Namun mereka berdua mempunyai pengalaman mempelajari pola-pola aneh yang ditimbulkan oleh bilangan prima.
Pada bulan Juli, kedua ahli matematika tersebut bertemu di sebuah konferensi di Edinburgh. Sawhney yang baru saja menyelesaikan sekolah pascasarjana selalu mengagumi Green. Hasil penting yang Green buktikan 20 tahun sebelumnya adalah “salah satu hal yang membawa saya ke topik ini,” kata Sawhney. “Saya berpikir, ‘Ya ampun, bagaimana kamu bisa melakukan ini?’” Green juga terkesan dengan matematikawan muda itu. “Mehtaab adalah ahli matematika yang luar biasa,” katanya. “Dia tahu segalanya.”
Keduanya memutuskan untuk berkolaborasi. Mereka hanya perlu menemukan masalah yang tepat untuk diatasi. Setelah beberapa diskusi, mereka menetapkan dugaan Friedlander dan Iwaniec.
Ben Green, ahli matematika di Universitas Oxford, terpesona oleh pola misterius yang menjadi ciri bilangan prima.
Green mengundang Sawhney ke Oxford selama seminggu. Mereka tahu bahwa untuk membuktikan dugaan serupa, matematikawan biasanya mengandalkan serangkaian teknik penghitungan tertentu. Namun karena bilangan prima dalam permasalahan mereka didefinisikan dengan sangat ketat, Green dan Sawhney tidak dapat menemukan cara untuk membuat perangkat tradisional ini berfungsi.
Sebaliknya, mereka berharap dapat membuktikan dugaan tersebut dengan cara yang lebih tidak langsung—dengan membuat semacam gerakan catur matematis. Tapi pertama-tama, mereka harus membuktikan bahwa mereka diizinkan untuk pindah.
Pada akhir kunjungan Sawhney, dia dan Green telah menemukan cara untuk melakukan hal tersebut—yang memungkinkan mereka membuktikan dugaan tersebut. Untuk melakukan hal ini, mereka akhirnya membuat koneksi yang mengejutkan ke bidang matematika lainnya.
Coba Set Lain
Green dan Sawhney tidak mungkin menghitung secara langsung jumlah bilangan prima yang dibuat dengan mengkuadratkan dua bilangan prima lainnya dan menjumlahkannya. Namun bagaimana jika mereka sedikit melonggarkan batasannya? Mereka menyadari bahwa mereka dapat menyelesaikan versi yang sedikit lebih lemah dari permasalahan mereka—yaitu bilangan yang dikuadratkan hanya harus “kira-kira” bilangan prima.
Bilangan prima kasar lebih mudah ditemukan dibandingkan bilangan prima. Katakanlah Anda ingin menghitung semua bilangan prima kasar antara 1 dan 200. Pertama, pertimbangkan beberapa bilangan prima terkecil—seperti 2, 3, 5, dan 7. Lalu, tuliskan semua bilangan yang tidak habis dibagi bilangan prima tersebut. Angka-angka ini adalah bilangan prima kasar. Dalam kasus ini, Anda mendapatkan 50 bilangan prima kasar: 46 di antaranya sebenarnya bilangan prima, sedangkan empat sisanya (121, 143, 169, dan 187) bukan bilangan prima. Karena bilangan prima kasar tidak terdistribusi secara acak dibandingkan bilangan prima, bilangan prima tersebut jauh lebih mudah untuk dikerjakan. “Bilangan prima yang kasar adalah himpunan yang kita pahami jauh lebih baik,” kata Sawhney.
Karya penting Tamar Ziegler tentang bilangan prima memungkinkan para peneliti untuk menerapkan teknik matematika yang disebut norma Gowers ke dalam bidang baru.
Green dan Sawhney membuktikan bahwa ada banyak sekali bilangan prima yang dapat dibuat dengan mengkuadratkan dua bilangan prima kasar dan menjumlahkannya. Mereka sekarang hanya perlu menunjukkan bahwa pernyataan ini akan menyiratkan masalah yang sebenarnya ingin mereka pecahkan: Ada juga bilangan prima yang jumlahnya tak terhingga yang dapat ditulis sebagai jumlah kuadrat dari bilangan prima sebenarnya.
Tapi itu tidak terlihat jelas. Mereka harus menganalisis sekumpulan fungsi khusus, yang disebut penjumlahan Tipe I dan Tipe II, untuk setiap versi masalahnya, lalu menunjukkan bahwa penjumlahan tersebut ekuivalen, apa pun batasan yang mereka gunakan. Hanya dengan cara itulah Green dan Sawhney akan mengetahui bahwa mereka dapat mengganti bilangan prima kasar ke dalam pembuktiannya tanpa kehilangan informasi.
Mereka segera menyadari: Mereka dapat menunjukkan bahwa jumlah tersebut setara dengan menggunakan alat yang masing-masing telah mereka temui secara independen dalam pekerjaan sebelumnya. Alat tersebut, yang dikenal sebagai norma Gowers, dikembangkan beberapa dekade sebelumnya oleh ahli matematika Timotius Gowers untuk mengukur seberapa acak atau terstruktur suatu fungsi atau kumpulan angka. Secara sepintas, norma Gowers sepertinya berasal dari bidang matematika yang sama sekali berbeda. “Hampir tidak mungkin bagi orang luar untuk mengatakan bahwa hal-hal ini ada kaitannya,” kata Sawhney.
Namun menggunakan hasil penting yang dibuktikan pada tahun 2018 oleh para ahli matematika Terence Tao Dan Tamar ZieglerGreen dan Sawhney menemukan cara untuk membuat hubungan antara norma Gower dan jumlah Tipe I dan II. Pada dasarnya, mereka perlu menggunakan norma Gowers untuk menunjukkan bahwa dua himpunan bilangan prima mereka—himpunan yang dibuat menggunakan bilangan prima kasar, dan himpunan yang dibuat menggunakan bilangan prima nyata—cukup mirip.
Ternyata, Sawhney tahu cara melakukan ini. Awal tahun ini, untuk memecahkan masalah yang tidak berhubungan, dia telah mengembangkan teknik untuk membandingkan himpunan menggunakan norma Gower. Yang mengejutkannya, teknik tersebut cukup bagus untuk menunjukkan bahwa kedua set tersebut memiliki jumlah Tipe I dan II yang sama.
Dengan ini, Green dan Sawhney membuktikan dugaan Friedlander dan Iwaniec: Ada banyak sekali bilangan prima yang dapat ditulis sebagai P2 + 4Q2. Pada akhirnya, mereka mampu memperluas hasil mereka untuk membuktikan bahwa ada banyak sekali bilangan prima yang termasuk dalam jenis keluarga lain juga. Hasilnya menandai terobosan signifikan terhadap suatu jenis permasalahan yang kemajuannya biasanya sangat jarang terjadi.
Yang lebih penting lagi, penelitian ini menunjukkan bahwa norma Gowers dapat menjadi alat yang ampuh dalam ranah baru. “Karena ini sangat baru, setidaknya dalam teori bilangan ini, ada potensi untuk melakukan banyak hal lain dengannya,” kata Friedlander. Para matematikawan kini berharap untuk memperluas cakupan norma Gowers lebih jauh lagi—untuk mencoba menggunakannya untuk memecahkan permasalahan lain dalam teori bilangan selain penghitungan bilangan prima.
“Sangat menyenangkan bagi saya melihat hal-hal yang saya pikirkan beberapa waktu lalu ternyata memiliki penerapan baru yang tidak terduga,” kata Ziegler. “Ini seperti sebagai orang tua, ketika Anda membebaskan anak Anda dan mereka tumbuh dan melakukan hal-hal misterius dan tidak terduga.”
Cerita asli dicetak ulang dengan izin dari Majalah Kuantasebuah publikasi independen secara editorial dari Yayasan Simons yang misinya adalah untuk meningkatkan pemahaman masyarakat terhadap sains dengan meliput perkembangan dan tren penelitian di bidang matematika serta ilmu fisika dan kehidupan.
