Versi asli dari cerita ini muncul di Majalah Quanta.
Pada akhir tahun 2017, Ashwin Sah Dan Mehtaab Sawhney bertemu saat masih mahasiswa di Massachusetts Institute of Technology. Sejak saat itu, pasangan ini telah menulis 57 bukti matematika yang membingungkan bersama-sama, banyak di antaranya kemajuan mendalam di berbagai bidang.
Pada bulan Februari, Sah dan Sawhney mengumumkan lagi prestasi bersama. Dengan James Lengseorang mahasiswa pascasarjana di UCLA, mereka memperoleh peningkatan yang telah lama dicari pada perkiraan seberapa besar himpunan bilangan bulat dapat terbentuk sebelum harus berisi urutan angka yang berjarak sama, seperti {9, 19, 29, 39, 49} atau {30, 60, 90, 120}. Bukti ini melengkapi serangkaian pekerjaan panjang tentang ketidakmungkinanan matematis dari ketidakteraturan total. Bukti ini juga menandai kemajuan pertama dalam beberapa dekade pada salah satu masalah terbesar yang belum terpecahkan di bidang kombinatorik.
“Sungguh luar biasa mereka berhasil melakukan hal ini,” kata Ben Hijauseorang matematikawan di Universitas Oxford. Saat karya tersebut dirilis, ketiganya masih menempuh pendidikan pascasarjana.
Deret angka yang diberi jarak teratur disebut deret aritmatika. Meskipun polanya sederhana, deret ini menyembunyikan kompleksitas matematika yang mencengangkan. Deret ini sulit, bahkan sering kali mustahil, untuk dihindari, tidak peduli seberapa keras Anda berusaha.
Pada tahun 1936, ahli matematika Paul Erdős dan Pál Turán diduga bahwa jika suatu himpunan terdiri dari pecahan bukan nol dari bilangan bulat—bahkan jika itu hanya 0,00000001 persen—maka himpunan itu pasti berisi deret aritmatika yang panjangnya sembarangan. Satu-satunya himpunan yang dapat menghindari deret aritmatika adalah himpunan yang terdiri dari sebagian “yang dapat diabaikan” dari bilangan bulat. Misalnya, himpunan {2, 4, 8, 16, …}, di mana setiap bilangan menggandakan bilangan sebelumnya, tersebar di sepanjang garis bilangan sehingga dikatakan membentuk 0 persen dari bilangan bulat. Himpunan ini tidak memiliki deret aritmatika.
Ashwin Sah, seorang mahasiswa pascasarjana di Institut Teknologi Massachusetts, telah menerbitkan lusinan bukti matematika.
Empat puluh tahun kemudian, pada tahun 1975, seorang matematikawan bernama Endre Szemerédi membuktikan dugaan tersebut. Miliknya pekerjaan yang melahirkan beberapa baris penelitian yang masih terus dieksplorasi oleh para matematikawan hingga saat ini. “Banyak ide dari pembuktiannya yang berkembang menjadi dunianya sendiri,” kata Yufei ZhaoPenasihat doktoral Sah dan Sawhney di MIT.
Para ahli matematika telah mengembangkan hasil Szemerédi dalam konteks himpunan angka yang terbatas. Dalam kasus ini, Anda memulai dengan kumpulan terbatas—setiap bilangan bulat antara 1 dan beberapa angka NBerapa fraksi terbesar dari kumpulan awal yang dapat Anda gunakan dalam set Anda sebelum Anda secara tak terelakkan menyertakan perkembangan terlarang? Dan bagaimana fraksi itu berubah seiring N perubahan?
Misalnya saja, mari kita N menjadi 20. Berapa banyak dari 20 angka ini yang dapat Anda tulis tanpa harus menghindari deret yang panjangnya, katakanlah, lima angka atau lebih? Jawabannya, ternyataadalah 16—80 persen dari jumlah awal.
Mehtaab Sawhney tertarik pada masalah yang kedengarannya tidak berbahaya, namun mengungkap kompleksitas yang tidak terduga.
Sekarang mari N menjadi 1.000.000. Jika Anda menggunakan 80 persen dari kumpulan baru ini, Anda akan melihat kumpulan yang berisi 800.000 angka. Mustahil bagi kumpulan yang begitu besar untuk menghindari perkembangan lima suku. Anda harus menggunakan sebagian kecil dari kumpulan tersebut.
Szemerédi adalah orang pertama yang membuktikan bahwa fraksi ini harus menyusut menjadi nol karena N tumbuh. Sejak saat itu, para ahli matematika telah mencoba mengukur seberapa cepat hal itu terjadi. Tahun lalu, pekerjaan terobosan oleh dua ilmuwan komputer hampir memecahkan pertanyaan ini untuk perkembangan tiga suku, seperti {6, 11, 16}.
Namun, saat Anda mencoba menghindari deret aritmatika dengan empat suku atau lebih, soalnya menjadi lebih sulit. “Hal yang saya sukai dari soal ini adalah kedengarannya tidak berbahaya, padahal tidak. Soal ini benar-benar menggigit,” kata Sawhney.
Hal ini karena perkembangan yang lebih panjang mencerminkan struktur dasar yang sulit diungkap oleh teknik matematika klasik. Angka-angka XBahasa Indonesia: kamu Dan dari dalam barisan aritmatika tiga suku selalu memenuhi persamaan sederhana X – 2kamu + dari = 0. (Misalnya, ambil deret {10, 20, 30}: 10 – 2(20) + 30 = 0.) Relatif mudah untuk membuktikan apakah suatu himpunan memuat angka-angka yang memenuhi kondisi semacam ini atau tidak. Namun, angka-angka dalam deret empat suku juga harus memenuhi persamaan yang lebih rumit. X2 – 3kamu2 + 3dari2 – aku2 = 0. Perkembangan dengan lima suku atau lebih harus memenuhi persamaan yang lebih rumit. Ini berarti bahwa himpunan yang memuat perkembangan tersebut menunjukkan pola yang lebih halus. Lebih sulit bagi matematikawan untuk menunjukkan apakah pola tersebut ada.
Pada akhir tahun 1990an, Timotius Gowersseorang matematikawan yang sekarang berada di Collège de France, mengembangkan sebuah teori untuk mengatasi kendala ini. Ia kemudian dianugerahi Fields Medal, penghargaan tertinggi dalam bidang matematika, sebagian atas karyanya tersebut. Pada tahun 2001, ia menerapkan tekniknya terhadap teorema Szemerédi, membuktikan batasan yang lebih baik pada ukuran himpunan terbesar yang menghindari deret aritmatika dengan panjang berapa pun. Sementara matematikawan menggunakan kerangka Gowers untuk mengatasi masalah lain selama dua dekade berikutnya, catatannya pada tahun 2001 tetap stabil.
James Leng, mahasiswa pascasarjana di UCLA, baru-baru ini membuat kemajuan pada salah satu masalah terbuka terbesar dalam kombinatorik. Namun, itu bukanlah rencana awalnya.
Pada tahun 2022, Leng—yang saat itu berada di tahun kedua sekolah pascasarjana di UCLA—berusaha memahami teori Gowers. Ia tidak memikirkan teorema Szemerédi; sebaliknya, ia berharap dapat menjawab pertanyaan teknis terkait teknik yang dikembangkan Gowers. Matematikawan lain, yang khawatir bahwa upaya yang diperlukan untuk menyelesaikan masalah akan mengalahkan hasil, mencoba menghalanginya. “Itu wajar saja,” kata Leng kemudian.
Selama lebih dari setahun, ia tidak mencapai apa pun. Namun akhirnya, ia mulai membuat kemajuan. Sah dan Sawhney, yang telah memikirkan pertanyaan-pertanyaan terkait, mengetahui tentang karyanya. Mereka tertarik. “Saya kagum bahwa mungkin untuk berpikir seperti ini,” kata Sawhney.
Mereka menyadari bahwa penelitian Leng dapat membantu mereka membuat kemajuan lebih lanjut pada teorema Szemerédi. Dalam beberapa bulan, ketiga matematikawan muda tersebut menemukan cara untuk mendapatkan batas atas yang lebih baik pada ukuran himpunan tanpa perkembangan lima suku. Mereka kemudian memperluas pekerjaan mereka ke perkembangan dengan panjang berapa pun, menandai kemajuan pertama pada masalah tersebut dalam 23 tahun sejak pembuktian Gowers. Gowers telah menunjukkan bahwa, saat kumpulan angka awal Anda bertambah besar, himpunan penghindar perkembangan yang dapat Anda buat menjadi relatif lebih kecil pada tingkat tertentu. Leng, Sah, dan Sawhney membuktikan bahwa hal ini terjadi pada tingkat yang secara eksponensial lebih cepat.
“Ini adalah pencapaian yang luar biasa,” kata Zhao. “Ini adalah jenis soal yang tidak akan saya sarankan kepada siswa mana pun karena sangat sulit.”
Para ahli matematika bahkan lebih bersemangat dengan metode yang digunakan trio tersebut untuk mendapatkan batasan baru mereka. Agar semuanya berhasil, mereka pertama-tama harus memperkuat batasan yang lebih lama, hasil yang lebih teknis oleh Green, Terence Tao dari UCLA dan Tamar Ziegler dari Universitas Hebrew. Para ahli matematika merasa bahwa hasil ini—semacam penjabaran teori Gowers—dapat ditingkatkan lebih jauh. “Rasanya kita memiliki pemahaman yang tidak sempurna tentang teori tersebut,” kata Green. “Kita hanya melihat sedikit bayangannya.”
Sejak menyelesaikan pembuktian pada bulan Februari, Sah dan Sawhney telah lulus. Namun, kolaborasi pasangan ini belum melambat. “Kekuatan luar biasa mereka adalah mengambil sesuatu yang sangat menuntut secara teknis dan memahaminya serta menyempurnakannya,” kata Zhao. “Sulit untuk melebih-lebihkan tingkat pencapaian mereka secara keseluruhan.”
Cerita asli dicetak ulang dengan izin dari Majalah QuantaBahasa Indonesia: sebuah publikasi independen yang diterbitkan oleh Yayasan Simons yang misinya adalah untuk meningkatkan pemahaman publik tentang sains dengan meliput perkembangan penelitian dan tren dalam matematika serta ilmu fisika dan ilmu hayati.
